Урок 1. 3 класс +. Индия. Мандалы. Колам. Башня Брамы. Древние индийские задачи.

Для занятия вам понадобятся.
1. Толстый картон (коробка из-под обуви или плотный гофро), скуби-ду или толстый шнур, крупные бусины или пуговицы — это для изготовления головоломки.
2. Распечатки на черно-белом принтере.

Раздатка 1. 3+ Мандалы.
Раздатка 2. 3+ Колам.
Раздатка 2_1. 3+ Колам.
Для старших дополнительно раздатка с задачами.
Раздатка. Индийские задачи.

3. Для каждого 8 картонных квадратов с цифрами 1-8.  Можно распечатать, если ваш принтер печатает картон. Можно заменить на 8 колечек от пирамидки, если есть под рукой.
Раздатка. Башня Брама.

Конспект плана урока 3+

Сегодня мы отправимся в Индию. Эта страна очень древней культуры.

landscape photo of a muslim temple

Photo by Roxanne Shewchuk on

Для разминки предлагаю вам сделать и решить небольшую головоломку, которая называется “Индийский трюк”.

Индийский трюк
Здесь она фабричная. Но можно сделать самостоятельно. Для этого понадобится
1)толстый картон (можно от гофро, можно от обувной коробки. Обычный поделочный будет тонковат),
2) скуби-ду или толстый шнур.
3) толстые бусины или пуговицы.
Нужно отрезать две полоски картона, размером примерно 10 на 4 см. В каждой полоске нужно вырезать отверстие, размером меньше, чем ваша бусина или пуговица. Дальше собираем так, как это показано на рисунке.
Задача – разделить половинки головоломки, не развязывая узелков на веревочке.

Издавная индусы славились своими узорами, они верили, что рисование узоров оказывает влияние на самого человека.

Прежде всего это рисование мандал. В переводе Мандала означает “круг”, который считался символом Вселенной.
Окружность (граница круга) – особенная фигура. Ее не так легко определить, как, например, треугольник. Любой первоклассник вам сможет – может быть не совсем математически точно – объяснить, что такое треугольник. Например, так “Это три точки, соединенные отрезками.”
Так же легко дать определение понятия “четырехугольник” или “пятиугольник”. А, вот, окружность – линия особенная. Известный математик Гротендик, вспоминая свои школьные годы, заметил, что увлёкся математикой, когда узнал определение окружности.

ОКРУЖНОСТЬ – ЭТО ЛИНИЯ, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ВСЕХ ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ, КОТОРЫЕ НАХОДЯТСЯ НА ЗАДАННОМ РАССТОЯНИИ ОТ ОДНОЙ ТОЧКИ ПЛОСКОСТИ, НАЗЫВАЕМОЙ ЦЕНТРОМ ОКРУЖНОСТИ.

Окружность обладает особыми свойствами. Например, если начертить окружность на листе бумаги с помощью циркуля, вырезать ее и сложить по любой линии, проходящей через центр, то обе половинки совпадут. Можете провести такой эксперимент.
Линия сгиба, при которой совпадают обе половинки фигуры, называется осью симметрии.
У окружности бесконечное множество осей симметрии.
В мандалах кроме самой окружности есть еще и узоры. Поэтому у мандал осей симметрии будет меньше.
Дорисуй мандалу так, чтобы у каждой было по крайней мере две оси симметрии.

РАЗДАТКА 1.

Раздатка 1. 3+ Мандалы.

Помимо мандал есть еще одно индийское искусство рисования – Колам. Это рисование узоров рисовой мукой на полу или земле перед входом в жилище. Считается, что это такой вид молитвы индийской богине Лакшми, которая приносит процветание и мир.

mandala-52008_960_720

До рисунка на землю наносится сетка из точек. И уже по этой сетке рисуется сам узор. Существует два вида Колам – там, где точки соединяются между собой и там, где узор огибает точки. Предлагаю вам нарисовать несколько узоров Колам.

РАЗДАТКА 2. Повторите узор Колам. Узоры рисуются в определенной последовательности. Новые линии на каждом шаге отмечены голубым цветом.

Раздатка 2. 3+ Колам.

Раздатка 2_1. 3+ Колам.

С Индией связана легенда о башне Брахмы, которую придумал в 1883 году французский профессор Люка. Она говорит: “В Великом храме города Бенарес, под собором, отмечающим середину мира, находится бронзовый диск, на котором укреплены 3 алмазных стержня, высотой в человеческий рост. Давным-давно, в самом начале времён, монахи этого монастыря провинились перед богом Брахмой. Разгневанный Брахма воздвиг три высоких стержня и на один из них возложил 64 диска, сделанных из чистого золота. Причем так, что каждый меньший диск лежит на большем.
Служители храма обязаны перекладывать диски с одного шпиля на другой, руководствуясь правилами, установленными Брамой. Эти правила гласят, что за один раз можно переместить только один диск, причём его надо надеть на шпиль прежде, чем взяться за другой. Больший диск нельзя класть на меньший. Когда жрецы переложат все диски с центрального шпиля на один из боковых, наступит конец мира: Брама поразит его громом.

Эту головоломку легко сделать самим. Вырежьте из картона квадратики с цифрами 1-8. На листе бумаги рисуем три вертикальных отрезка. На левый кладем квадратики с цифрами по возрастанию сверху вниз. Нужно переложить квадратики с левого отрезка на любой правый, выполняя правила головоломки — одновременно берем один квадратик, над квадратиком с меньшим числом нельзя класть квадратик с большим числом.

Башня Брамы

Попробуйте просто дать ребенку задание с башней из 8 квадратиков и не подсказывать, пусть он сам попробует прийти к тому, что для того, чтобы снять кольцо с номером, например, 4, нужно целиком переложить башню 1-3. И если у него совсем не выходит, можно предложить более простой вариант. 

Начните с того, что переложите башню всего из четырех квадратов. Сколько шагов у вас получилось? Любители компьютерных игр могут поиграть онлайн. Например, здесь.

Давайте теперь посчитаем, можно ли сделать это за меньшее число шагов.

Давайте возьмем всего два квадрата. Сколько шагов для этого понадобится?
Убедитесь, что это количество равно трем. 3 = 2*2 — 1

Теперь три квадрата.
Чтобы освободить нижний квадрат, нам понадобится переложить целиком башню из двух квадратов. Для этого понадобится три шага. Потом одно перемещение нижнего квадрата, потом еще раз перемещаем башню из двух. То есть всего понадобится 3 + 1 + 3 шага = 7 = ().

Для четырех квадратов —
7 + 1 + 7 = 15 шагов.

Для пяти квадратов – 15 + 1 + 15.

Посчитайте, сколько шагов минимум понадобится для восьми квадратов.

Следующее доказательство стоит давать только очень сильным детям. Минимум с пятого класса. 

*************************************************************************************

Итак, докажем, что общая формула будет 2*2*2*….*2 — 1                                                                                                                                                ↑N раз

Сначала проверим, что формула будет верной для N = 2,3,4,5.

Предположим, что формула верна для N-1. Докажем её для N.

Чтобы переместить башню, высотой N, нужно переместить целиком башню, высотой N-1. Потом переложить нижний квадрат, потом еще раз башню N-1.
Тогда количество перемещений будет

2*2*2*…*2 – 1 + 1 +2*2*…2 – 1=  2*2*2…*2 – 1                                                                                 ↑N-1 раз                   ↑N-1 раз           ↑N раз

То есть получается, что если формула верна для N-1 раза, она будет верна и для N раз.  Такой способ доказательства называется метод математической индукции

Можете попробовать посчитать на калькуляторе, чему будет равно произведение 64-х двоек.  Многократное умножение в математике называется степенью и записывается вот таким образом Степень числа.

Для подсчёта удобно воспользоваться вот этим онлайн калькулятором

(Телефонные калькуляторы обычно не вмещают нужное количество разрядов.  ) После этого посчитайте, сколько понадобится лет для решения этой задачи, если тратить на одно перекладывание 1 секунду. Для сравнения  возраст земли составляет примерно 4.5 миллиарда лет.

*************************************************************

Индийская математическая культура — одна из самых древних в мире. Еще в третьем тысячелетии до нашей эры в Индии уже была развита десятичная система счисления. Каждая цифра обозначалась с помощью зарубок.
У каждого разряда существовало свое наименование. Сейчас мы широко пользуемся миллионами, миллиардами, а дальше уже мало, кто знает название. А древние индийцы имели имена для всех чисел, вплоть до единицы с 53 нулями. В некоторых трактатах упомянуто название даже единицы с 140 нулями.
Современная десятичная позиционная система исчисления имеет также индийское происхождение.

Выполнение вычислений называли также “работа с пылью”, так как вычисления производились на доске, покрытой пылью или песком, а иногда и просто на земле.

Сохранилось множество индийских математических  трактатов с разными задачами.
Попробуйте и вы решить некоторые из них . Индийские математики пользовались алгебраическими вычислениями. Но все эти задачи можно решить, не используя уравнений. Даже если ребёнок умеет составлять уравнения по задачам, полезно время от времени решать задачу просто рассуждениями. 

Раздатка. Индийские задачи.
1. Один имеет 300 монет и 6 лошадей. Другой имеет 10 таких лошадей, но у него недостаёт 100 монет. Оба одинаково богаты. Какова цена лошади?
2. Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?
3. Король взял шестую часть плодов манго, королева пятую часть остатка, три принца взяли соответственно четвертую, третью и половину каждого остатка, а малыш – оставшиеся три плода. Назови общее количество плодов.
4. Стоимость 9 лимонов и 7 яблок равна 107. Стоимость 7 лимонов и 9  яблок равна 101. О, математик, быстро назови мне цену лимона и  яблока.
5. Богатства первого и второго, взятые вместе, составляют 13, богатства второго и третьего, взятые вместе, 14, богатство первого и третьего равно 15. Назови мне богатство каждого.
6. Из множества чистых листков лотоса были принесены в жертву: Шиве – третья доля множества, Вишну – шестая, четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?

Решения.
1. Если богатства обоих равны, то мы можем как давать каждому одинаковое количество, так и забирать. И богатства будут равны по-прежнему. Если у второго недостает 100 монет, то дадим каждому по 100 монет. Значит, у первого теперь 400 монет и 6 лошадей, а у второго просто 10 лошадей. Заберем у обоих по 6 лошадей. Тогда получится, что у первого 400 монет, а у второго 4 лошади, и это одинаковое богатство. Отсюда получаем, что лошадь стоит 100 монет.

2. Если первый дал мешок монет, то второй дал два мешка монет, тогда третий дал 6 мешков монет, четвертый – 24 мешка монет. Все вместе они дали 33 мешка монет, что составило 132 монеты. Значит, в одном мешке всего 4 монеты, которые дал первый жертвователь.

3. Если король взял шестую часть плодов, то осталось пять шестых, от них пятая часть – это тоже 1 шестая. Остаток – четыре шестых. Четверть от четырех шестых – одна шестая и так далее. Окажется, что и оставшиеся три манго – 1/6. Получается, что всего 18 плодов.

4. (9 лимонов и 7 яблок) и (9 яблок и 7 лимонов) имеют общую часть – 7 яблок и 7 лимонов и различные части – 2 лимона и 2 яблока. Отсюда получаем, что 2 лимона дороже двух яблок на 6. Значит, лимон дороже яблока на 3. Если мы сложим все яблоки и все лимоны, то у нас получится 16 пар яблок и лимонов, которые стоят вместе 208. Значит, одна пара яблок и лимонов стоит 13.
Отсюда легко подобрать, что яблоко стоит 5, а лимон 8.

5. Если мы сложим все три числа, то у нас получится богатства первого, второго и третьего, умноженные на два. Это будет 42. Значит, первый, второй и третий вместе имеют 21 рупию. Если первый и второй 13, значит, третий – 8. Дальше второй – шесть, а первый – 7.

6. Какое самое маленькое число делится на шесть, на три и на четыре? Это 12. Разделим все количество цветов на 12 частей. Треть от 12 частей будет 4 части. Их отдадим Шиве.
Шестая часть от 12 – 2 части. Их отдадим Вишну.
Четвертая часть от 12 – 3 части. Их отдадим Бхавани.
Останется 12 – 4 – 2 – 3 = 3 части.
3 части – это шесть цветков, значит, одна часть – 2 цветка.

Если одна двенадцатая – 2 цветка, то всего было 24 цветка.