Школьников я тоже была очень-очень рада видеть — и новеньких, и стареньких. Всё-таки живое общение не заменить никаким онлайном. Поэтому мы сразу начали с того, что онлайн очень трудно реализовать, практически невозможно, во всяком случае в полном объёме.
Это тема «Узлы». Этого очень мало на олимпиадах, не встречается в школе, но это большой раздел математики, и он прокачивает пространственного воображение лучше всего. С некоторыми группами начали с мемори с узлами. У меня есть небольшая подборочка.

Потом обсуждали, где встречаются в жизни узлы и я рассказывала про миксину. И показывала детям ролик.
https://youtu.be/OZUhWIvXTT8
Потом думали, как узлы можно нарисовать на листке, чтобы было понятно, как узел устроен. У Банды умников есть прекрасная подборка заданий про верёвочки сверху и снизу. Вот их и порешали.

А ещё учились по диаграммам складывать узлы, и наоборот — по узлам рисовать диаграммы.
Со старшими группами ещё мы говорили о проблеме эквивалентности узлов. И на раздатке искали узлы, эквивалентные тривиальному. Но это всё было непросто, поэтому про самые сложные узлы я просто не стала рассказывать,потому что и на не очень простых у детей закипели мозги, вместо этого в конце моя прекрасная ассистент Маша рассказывала верёвочную сказку индейцев навахо чуть в сокращённом варианте, но всё равно длинную. Кто хочет целиком, отсылаю к Лёхе Андрееву. https://youtu.be/TBhfRwBSR1E
Но, честное слово, Маша рассказывала не хуже.

И в конце мы с ассистентами учили детей показывать простые верёвочные фигуры.