У нас почему-то принято считать, что наглядный материал – это для дошкольников прежде всего. Зачем всякие танграмы, кубики, досочки, мозаики – глупости одни для детишек. А на самом деле вся эта наглядность отлично подходит и школьником тоже.
Вот, сегодня я со всем детьми занималась геодосками. И не то, что не было легко, а у меня осталось материала еще на урок для каждого класса.
1-2 класс. Я сначала попросила сложить свое имя, причем так, чтобы каждая буква была пусть условной, но из одной резиночки. Неожиданно очень трудно пошло у второго класса. Первоклашки как-то были сильно креативнее. А второй класс просто никак не мог придумать – а как натянуть Н, а как натянуть М.
Потом я просила зарисовать на точечной бумаге, что у них получилось. И тоже не то, чтобы получилось очень легко.
Дальше я предложила им сделать шифровки. Натянуть несколько букв одну поверх другой. Это понравилось всем очень. Дети с удовольствием как делали шифровки, так и отгадывали, и на это ушло куча времени.
Еще была серия задач про море и архипелаг, которые мы потом делали и со старшими.
Море отгораживаем квадратиком пять на пять. В середине получаются 16 штырьков в виде квадрата.
Задания:
Разместить там сначала три разных треугольных острова, потом два разных четырехугольных острова, потом два пятиугольных острова, два шестиугольных острова – все это так, чтобы они не касались друг друга, и были честными многоугольниками. Считаем, что если штырьки лежат на одной прямой, то и резинка, огибающая их, – отрезок, с какой бы стороны она не огибала штырьки. До шестиугольников дошли только отдельные выдающиеся личности.
Еще были задания – сделай девятиугольный остров с треугольным островом внутри. 12-угольный остров, и хит – 16-угольный остров.

Еще я нашла прекрасную англоязычную книжку https://www.mathedpage.org/geometry-labs/gl/geometry-labs.pdf
Спасибо https://klarissa45.livejournal.com
Это лабораторые работы по математике для старших классов с использованием наглядных материалов. Просто суперкнижка.

И я решила воспользоваться ей, чтобы поговорить с третьим-четвертым классом о периметре и площади.
Нулевое задание оказалось совершенно неожиданно сложным. Я показала детям геодоску, и спросила – если я натяну прямоугольник по одной стороне на 4 штырька, а по другой на 5, то какая будет площадь. И все как один бодро ответили, что двадцать. Я призвала подумать. Недодумались. Пришлось раздать доски и попросить проверить. И даже с доской додумались не сразу, почему не двадцать.
Потом я попросила из одной резиночки натянуть букву Н. Мы посчитали ее площадь. Как обычно оказалось, что не все понимают, что это вообще такое. У многих в голове только вот это – длину умножить на ширину. Пришли к тому, что можно считать квадратики. Дальше я попросила посчитать периметр. Посчитали. Потом я попросила построить другие фигурки с площадью в данном случае 7. И считать периметр. Обсуждали, может ли полимино иметь нечетный периметр и почему нет.
Под конец я попросила на поле 5 на 5 натянуть как можно больше квадратов разной площади. К тому, что можно натянуть квадрат со сторонами, непараллельными сторонам планшета пришли с большим трудом.
На этом получилось все, а мне еще хочется поговорить про площади- периметры.

. Сначала мы играли в игру, которую я придумала для своего Санечка, который легко запоминает буквы, и уже читает несложные слова, но почему-то никак не запомнит цифры.
Она навеяна Зверобуквами. Но про цифры.
На поле раскладываются цифры рубашкой вверх. Открывается карточка, на которой три группы предметов. Нужно открывать цифры и искать те, которые бы соответствовали количеству предметов.
Шестилеткам я еще добавила зеркальных цифр, чтобы было веселее. Но хотя я сразу отметила зеркальные, им было нелегко. Цифр почти вдвое больше, они как-то плохо следили за тем, кто что открыл, и было сложновато.
2. С шестилетками мы еще играли в светофор. Было довольно весело. Хотя чувствовалось, как им нехватает опыта подобных игр.
3. Дальше мы играли с геодосками и силиконовыми шнурками. На каждой доске были натянуты две параллельные резиночки через 2 – 3 см. Это была река. Дети закрыли глаза, а я построила мостики так, чтобы было понятно, какой за кем. Дальше мы обсуждали, в какой последовательности идут мостики, и попросила детей построить в такой же. Дальше мы смотрели, у кого как получилось и обсуждали, у кого видно однозначно, какой мостик за каким идет, .а у кого нет.
И дальше уже я складывала, и просила определить, что можно сказать про последовательность мостиков. Иногда было, скажем, два первых, или два третьих.
4. На стенках висели разные группировки фигур. И я просила найти, например, где круг наклеен позже всех фигур, или зеленая фигура наклеена после синей, или красная раньше фиолетовой. В принципе все термины дети знают, но вот так выполнять задания было легко далеко не всем.
5. Под конец у нас были шифры вот такого рода.
На раздатке изображена композиция фигур и на каждой фигуре буква. Нужно было от верхней к нижней записать слово. В целом довольно хорошо пошло. Ну, были отдельные товарищи, которые пытались просто так слово составить. Но у меня специально некоторые слова были такими, что там несколько разных слов можно было получить. Так что этот номер не проходил.

Поскольку в прошлый раз с доказательствами вообще, и доказательством от противного возникли сложности (кстати, вторая старшая группа как-то легче все восприняла, не знаю почему), я решила вернуться к книге Раскиной, о которой я уже писала. И проштудировать с детьми главу «Доказательство от противного». Пошло очень и очень тяжело. Но формальная логика вообще у нас туговато шла. У детей прямо закипали мозги.
А тут нужно четко осознавать, где у нас причина, где следствие, где прямое высказывание, где обратное, где противоположное, где противоположное обратному. В целом мы решали, но коллективно — с моими песнями и плясками. И явно у них не уложилось. То, что прямое высказывание не равносильно обратному вроде бы все поняли уже давно, и не ошибаются. Но то, что прямое высказывание равносильно противоположному обратного по-моему так и не уложилось. Я думаю, что мы потихоньку будем небольшие упражнения на это делать.
Среди задачек мы решали довольно сложные. Например, такую.
«В клетках шахматной доски как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 64. Докажите, что найдутся две соседние по стороне или по вершине клетки, числа в которых отличаются не меньше чем на 9.»
Здесь же поговорили о бесконечности простых чисел. Нашелся даже котик, который знал, как это доказывается.
Но ушло некоторое время на осознание того, что здесь причина, что следствие. И причем здесь доказательство от противного.
У меня был еще материал, но мне нужно было срочно разгрузить детей, и мы тоже порисовали змеек. И дети сами сообразили, почему нечетные змейки возвращаются.

Сегодня с детьми мы отправились на Тропический остров.
1. Первый-второй класс сначала получил задание лечь на другой галс. То есть нужно было по клеточкам симметрично отобразить кораблик. В целом все справились, но не могу сказать, что было прямо совсем легко, особенно первоклассникам.
2. Дальше мы разговаривали про обычаи племени Мумба-Юмба по материалам Наташи Рожковской.
Я рассказала, что туземцы этого племени обладают таинственным знанием особой математики. У них есть две операции — солнышко и ананас.
Солнышко = сложение.
Ананас = выбор наибольшего из двух чисел.
Сначала мы решали разные примеры на солнышки и ананасы в разных сочетаниях.
А потом нужно было заполнить табличку солнышек до 8, и табличу ананасов до 8. И постараться увидеть закономерность, как эта таблица легко и быстро заполняется. Так вот закономерности видеть не так-то просто. Хотя многим и удалось.
3-4 классу я еще дала задание закрасить красным в таблицах все числа, которые делятся на 3, и синем те, которые делятся на четыре.
3. Мы знакомились с местной фауной — по материалам книжки «Математика — это красиво» Мы рисовали змеек. У нас были домашние змейки — которые всегда возвращаются. И дикие — которые уползают.
Змейка строится так. Берется, например, три числа. Скажем, 2-3-4, в центре листа ставится точка, и рисуется линия — 2 клеточки вправо, 3 вверх, 4 влево, 2 вниз, 3 вправо, 4 вверх и так далее.
Смотрели, как получается в зависимости от количества цифр и их последовательности, рисовали и раскрашивали разные змейки. Некоторым товарищам отдельно написала задание домой со змейками по их просьбе.

Сегодня у нас было занятие про варежки.
Оказалось, что про варежки можно придумать целую кучу заданий. И мы даже не все успели.
1. Сначала я сделала игру, вроде «Где Додо», но с варежками. То есть у меня была куча варежек с разными признаками — три основных цвета, с отворотами трех цветов и без, правые и левые, со снежинками, ромбиками и заплатками. Я прятала мышку под варежку и просила детей искать, называя признак, который отсекал бы как можно большее количество варежек. И было ох как непросто. Пятилетки с большим трудом удерживались от того, чтобы не называть конкретную варежку. Признак правая-левая был особенно сложным. Его называли все самым последним — и пятилетки, и шестилетки.
2. Я сделала картонные варежки так, чтобы было по два вида по разным признакам — правые-левые, красные-желтые, со снежинками или с цветочками, с тремя рисунками и двумя, и давала задание: те, у кого правые варежки, прыгайте на месте, а те, у кого левые, — хлопайте в ладоши, те, у кого красные варежки, покажите мне 4 пальца, и те, у кого желтые — 3 пальца. Отличное задание получилось. Особенно для тех, кто привык смотреть на других. Буду пытаться делать аналогичные.
3. В конце предыдущего задания нужно было найти пару своей варежке.
После этого мы занялись украшением варежек. Пятилеткам я просто дала две соединенные варежки, и нужно было их симметрично украсить наклейками-ценниками. А шестилеткам было задание посложнее, но как оно мне понравилось! Я дала им две варежки на двоих, и сказала украсить их вдвоем так, чтобы они вышли одинаковыми. Детям так понравилось, что мы в два раза дольше занимались этим, чем я планировала. Получились совершенно прекрасные работы. Как только мне пришлют фоточки, обязательно выложу. Они так здорово обсуждали, где какой цвет и рисунок будет, что я просто не могла нарадоваться. Все-таки сотрудничество гораздо лучше соревновательности. Что бы еще такое придумать? Ни у кого нет какого-нибудь еще задание на взаимодействие?
4. А еще у нас было задание про то, на сколько больше. Поскольку у 1-2 класса внезапно оказались проблемы с представлением того, что же такое больше НА, то я решила превентивно поработать с дошкольниками. На распечатке был ряд из 6 левых варежек, потом ряд из 6 правых варежек. Нужно было бросить кубик, раскрасить столько левых варежек, сколько выпало, потом еще раз бросить кубик, раскрасить столько правых варежек, сколько выпало, написать, сколько всего получилось, потом обвести «лишние» варежки, и написать, насколько больше правых или левых. Самым умным шестилеткам я предложила сделать еще то задание, которое давала 1-2 классу — по сумме и разности найти количество варежек. Отдельные личности справились, но вообще я думала, что это задание пойдет легче. А тут им пришлось некоторое время повозиться.
5. В качестве домашнего задания я дала варежки, нарисованные по клеточкам. На левой варежке узор, на правой варежке узор. Их нужно объединить, чтобы варежки получились одинаковыми.

Со старшими мы еще занялись принципом Дирихле. Это знаменитое утверждение о том, что если в N клетках сидят N+1 кроликов, то в какой-то клетке сидит не меньше двух кроликов.
Проблема оказалась в том, что дети совершенно не видят, что тут можно доказывать. Очевидно же — и все их доказательства сводились к формулировке задачи другими словами. И вообще похоже, что идея доказательств для них пока не очень понятна. А уж идея доказательства от противного тем более. Так что придется нам вернутся к логике и доказательствам вообще, и доказательству от противного — в частности.
Хотя задачки на принцип Дирихле мы все равно поразбирали, хоть и было нелегко — не в смысле понять задачки, а в смысле выстроить доказательство.

Как известно, Исаак Ньютон говорил, что видел дальше других только потому, что стоял на плечах гигантов.
Мы все (ведущие математических кружков для младших детей) конечно стоим на плечах ученых математиков и ведущих математических кружков для взрослых. Но вот наше дело все-таки еще достаточно молодое. Совсем недавно вообще людям пришло в голову, что математикой — настоящей взрослой — вполне можно заниматься и с достаточно мелкими детьми.
Материалов — так, чтобы на много лет занятий, да еще под конкретную группу и условия — не то, чтобы очень много. А да недавнего времени, кроме книжки Александра Звонкина вообще ничего не было.
Зато сейчас есть сетевые дневники занятий разных ведущих, и можно обмениваться идеями, обсуждать, у кого что получилось, и на основании их придумывать что-то свое. Иногда идея рождается у кого-то одного, потом другой ее модифицирует, и она автор пользуется уже более удачной и удобной версией.
Я в первую очередь пользуюсь, конечно, книжками и идеями Жени Кац и Сергея Пархоменко, но не менее прекрасны дневники занятий Натальи Астаховой и Ольги Оводовой. Их дневники я листаю чаще всего, когда мне нужны новые идеи и хочется набраться вдохновения.
В этот раз я взяла анаграммы из книжки Антона Тилипмана «Зубака».
А потом были шифры из дневника Натальи Астаховой https://mamochka-nata.livejournal.com/41097.html
Я давно хотела потренировать арифметику, потому что чувствовала, что у многих с этим проблемы. Но не ожидала, что так все грустно. Более или менее адекватно с этими шифровками справился только 3-4 класс. И то регулярно кто-то сидел и не мог сообразить, как же из этих чисел получить, скажем, 14 или 22.
А еще я взяла тему «Кирпичики» из книжки «Математика в твоих руках», но я долго думала, как же сделать эту тему более наглядной, даже думала на тему того, чтобы склеить плашечки — благо их у меня много. Но тут я вспомнила про свои любимые snap cubes. И отлично получилось — я нарисовала часть заданий в натуральную величину, считая, что один кирпичик = два кубика. А часть нарисовала в масштабе. И очень даже неплохо пошло. Всем понравилось.

Со старшими я начала введение в теорию вероятности. Мне кажется, это хорошая тема, в которой много чего интересного, и в пятом классе она уже вполне посильна.
Начали с базовых понятий — достоверных, случайных и невозможных событий. Искали разные примеры, определяли, какие события какие.
И рассмотрели, какие случаи будем рассматривать — что события действительно случайные, никто сознательно не жульничает и не подыгрывает определенным исходам.
А дальше поговорили про равновероятное события. И ставили эксперимент с небольшим количеством испытаний — смотрели, что количество разных исходов бросков кубика, скажем, если бросков 20-30, могут отличаться в три-четыре раза.
А если испытаний уже около 200, то такого разброса уже нет.
Дальше мы поговорили про ситуацию, когда два близнеца хотят купить в автомате одинаковые жвачки. А в автомате два сорта жвачек. Сколько жетонов им нужно бросить, чтобы событие «одинаковые жвачки» стало достоверным.
Ну, и дальше решали задачи про «В худшем случае».

С третьим-четвертым классом про тервер мы пока не говорили, зато поговорили про шоколадки.

И в обоих случаях были шоколадки для близнецов, но из Хмелинского, где можно делить по диагонали клеточки. И местами они, ох, какие трудные. У меня было две странички. Одну страничку целиком решил только самый геройский герой. Остальные максимум пару заданий.