Для дошкольников и младших школьников у меня были задачи про поезда. Двух типов.
Тип первый.
Задачки из книги Максима Колосова.

Я говорила, что нам нужно проложить железную дорогу, чтобы можно было объехать все белые клеточки ровно по одному разу.
Решали от пятилеток до четвертого класса. Там есть совсем простые, а есть такие, над которыми нужно много думать.

Тип второй решали только школьники.
Мы готовились к задачам на движение. Мне кажется, что один из недостатков нашей школы — очень маленькая наглядность, и отсутствие заданий на опытное прощупывание проблемы. Поэтому я время от времени даю задания с сильным опережением школьной программы, не говоря всяких страшных слов, но сильно увеличивая наглядность, чтобы дети пощупали те задачи, которые они будут проходить в школе позже, и чтобы это легло уже на их собственный опыт.
Я пользовалась идеями книжки, которую когда-то давно советовала Оля Оводова. https://www.labirint.ru/reviews/goods/179740/
Но задания у меня были свои. Например, такие — я рисовала несколько траекторий поездов, разделенных на километры, дальше дугами отмечала скорость поезда, и нужно было найти, какой из поездов быстрее всего приедет на станцию. Очень наглядно, для того, чтобы нарисовать дуги и посчитать их, не нужно умножать и делить, все прозрачно.

Следующие задачки были такими. Я рисовала путь поезда, как он едет вверх, вниз или по ровной поверхности, говорила, что вверх он едет со скоростью 1 км в минуту, по ровной дороге 2 км в минуту, а вниз — 3 км в минуту. Нужно было опять же посчитать, какой поезд придет первым.

Ну, и дальше были уже более сложные задачки про встречу поездов и так далее, но все с готовыми схемами. Это я у первоклашек дала только одному мальчику, который в момент сделал все предыдущее, второклашкам примерно половине, даже чуть больше, и всем третьеклашкам. 2-3 класс, кто дошел до этих задачек, вполне решали. Никто не решил самостоятельно только одну задачку.

Была нарисована такая траектория: 6 клеток склон вверх, потом 12 клеток склон вниз, и сказано, что поезд едет 6 минут, причем половину времени едет вверх, половину вниз. Нарисуйте схему его движения и скажите, с какой скоростью он едет вверх и вниз.

Но с наводящими вопросами решили потом довольно быстро.

Я очень люблю красивые задачки. А мои теперешние старшие, особенно покровская группа очень любят задачки разыгрывать.
И вот сегодня мы решали и разбирали три такие красивые задачки из книжки Гамова и Стерна «Занимательная математика». Тем, кто еще не читал эту книжку, и любит красивые задачки, я просто завидую — вам предстоит столько всего интересного.

http://www.alleng.ru/d/math/math114.htm

Вот три интересные задачки. (На самом деле они очень известные, но от этого не становятся менее красивыми)
1. Мистер Ульям Джонсон, машинист, вышел на пенсию. По ночам ему не спалось, и он стал выходить к поездам и смотреть, как они проходят мимо. Через некоторое время он заметил, что поезда, идущие на восток, встречаются гораздо чаще, чем поезда, идущие на запад.
При этом Уильям Джонсон точно знал, что поездов, идущих на запад ровно столько же, сколько поездов, идущих на восток.
Он решил сначала, что просыпается в одно и то же время, когда поездов на восток больше. И решил устроить статистическое исследование. Он выписал несколько случайных времен в течение суток, и стал приходить каждый день в это время. Он встретил 100 поездов, и из них 75 шли на восток, и только 25 шли на запад.
Он даже позвонил в депо и поинтересовался, не идут ли западные поезда по другой ветке. Его уверили, что поездов одинаковое количество и идут они строго по расписанию.
У него началась бессонница, и он обратился к врачу, который увлекался математикой. И он смог объяснить сложившуюся ситуацию. В чем же было дело?

2. Два поезда выходят одновременно навстречу друг другу со станций А и В, разделяемых расстоянием в 100 миль. Каждый из поездов движется со скоростью 50 миль в час. Вместе с поездами со станции А по направлению к станции В вылетает шмель, который долетает до другого поезда, встречает его, разворачивается и летит обратно. Так он и летает туда и обратно между сближающимися поездами. Когда же те, наконеч встречаются, шмель при виде мчащихся с двух сторон железных чудовищ пугается настолько , что замертво падает на землю. Какое расстояние он успевает пролететь за это время?

3. Во время нацистской оккупации Франции в купе поезда, шедшего из Парижа в Марсель, ехало четверо пассажиров. Компания подобралась пестрая: молодая очень красивая девушка, пожилая почтенная дама, немецкий офицер и француз средних лет неопределенной профессии. Все четверо не были знакомы друг с другом, и в купе поезда, мчавшегося на юг, царило молчание. Когда поезд въехал в туннель, свет в купе погас, и на несколько минут четверо пассажиров оказались в кромешной темноте,
Внезапно раздался звук поцелуя, за которым послышался мощный удар: судя по всему, кто-то из пассажиров основательно «приложил» кого-то из попутчиков. Когда поезд вырвался из туннеля, все четверо пассажиров с невозмутимым видом сидели на своих местах, и только у немецкого офицера под глазом наливался огромный синяк.
— Так ему и надо, — подумала пожилая дама. — А девчонка молодец! Настоящая французская девушка, умеющая постоять за себя и дать отпор этим наглым бошам! Побольше бы таких девушек!
— Странный вкус у этого немецкого офицера, — размышляла молодая француженка. — Вместо того чтобы поцеловать меня, он предпочел поцеловать эту старую грымзу! Непостижимо!
Немецкий офицер, прижимая носовой платок к пострадавшему глазу, над которым назревал огромный синяк, также не мог никак понять, что произошло в темноте.
— По-видимому, этот француз попытался поцеловать девушку, — подумал он, — а та в темноте промахнулась и ударила меня.
Спрашивается, что думал француз и что произошло в действительности?

А в конце мы разбирали и решали очередную головоломку Саймона Тетхэма про поезда.
https://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/js/tracks.html

Пока всех ждем, играем в носочки.

В этот раз я решила посчитать с детьми и потренировать глазомер. (Материалы частично взяты из Жени Кац и Перельмана)
И это было совсем нелегко.
Сначала я показала грецкие орехи в контейнере, и спросила, сколько их. Дети довольно точно ответили 20-30.

Потом насыпала столько же фундука. Тут уже было посложнее. Детям было понятно, что больше, но на сколько — не понятно. Орехов было около 110, а дети в основном говорили 40-50.
И следующий шаг — я насыпала мелкой фасоли. Тут уж было совсем сложно. Фасоли было около 1400. И считали мы ее так. Я насыпала всем мисочки, и просила осыпать в другую мисочку ровно 50, и отдавать мне. При том, что считали они очень тихо, многим было очень сложно не ошибаться. Мы поговорили про разные подручные средства, как сделать так, чтобы не ошибаться — отсчитывать десяток в ладошку, потом загибать пальцы, чтобы не сбиться в счете.

Потом мы считали спички в коробке. Я обратила внимание не то, что очень удобно складывать пять спичек в виде цифры пять. И последний шаг, до которого мы дошли только в одной группе, — посчитать, сколько в миске отдельно красной фасоли, белой фасоли и нута, если есть только одна пустая мисочка. Поговорили про то, как удобно ставить палочки в табличке. Можно тоже в виде пятерки.

И под конец урока мы занялись головоломкой Лагерь (палатки и деревья)
https://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/js/tents.html

1. Сначала мы играли в Читай-хватай. Очередной раз выяснилось, насколько все разные. Уровень чтения у дошкольников совершенно разный, и это никак не коррелирует с их способностью к счету и логическим рассуждениям. Есть совершенно разные наборы умений и неумений. Поэтому делали по уровням, и кто-то играл с картинками, кто-то простые слова читал, а кто-то и уже сложные.
2. Играли в «Мы берем с собой поход» — а ля Снежный ком, и что возьмем в поход — съедобное-несъедобное.
3. Играли в беготню на переключение внимания — идем шагом, рядом туча — побежали бегом, ливень — спрятались под столы, рядом кабан — идем на цыпочках, рядом змея — идем и громко топаем.
4. Играем в Find and colour. Очень хорошее задание на внимание https://picklebums.com/christmas-find-and-colour/
5. Играли, как будто мы плывем на лодке. Я каждому наклеила число. Пока плыли, закрывали глаза, махали руками и ногами, показывали какое-то количество пальцев. Потом приплыли — нужно найти палатку (тарелочку) со своим номером, потом палатку с номером на один больше, на один меньше и так далее.
Вот лодка.

6. Наплавались, и стали играть в лагерь. На клетчатом поле нарисованы деревья разных цветов. Нужно поставить рядом с деревом — в соседнюю клеточку — палатку соответствующего цвета так, чтобы палатки не касались даже углами. Очень бодренько пошло. Хотя не всем было легко следить за всеми условиями.

Со старшими сегодня очередной раз поняла, что старшие-то они старшие, но им всякие шоу нужны не меньше, чем младшим.
Сегодня мы решали классические задачи про «Принцессу и тигра» из прекрасной книжки Смаллиана, которая так и называется «Принцесса или тигр». Подробнее — тут http://www.e-reading.club/chapter.php/83367/6/Smallian_-_Princessa_ili_tigr.htmlСмысл задачек сводится к тому, чтобы по надписям на дверях угадать, кто там прячется, принцесса или тигр, и открыть нужную дверь.
Я повесила на доске две (в некоторых случаях три) картонки с номерами 1-2-3, это были двери, распечатала картинки с принцессой и тигром, условия задачек раздала каждому, на решение одной задачки давала 1-2 минуты, нужно было выбрать дверь, мы открывали ту, которую выбрало большинство, потому ту, которую выбрали остальные, и потом считали, кого сколько раз съел тигр. Было всем весело и интересно. К сожалению таких, кого ни разу не съел тигр, не нашлось. Но были три человека(из девяти), которых съели всего по одному разу (из одиннадцати раз).

Вторую часть урока мы разговаривали про параболу. Я рассказывала про фокус и директрису,
Немножко про фокальное свойство параболы (Если источник света поместить в фокус параболы, то лучи, отразившись от параболы, пойдут в одном направлении.) А дальше рассказала, как построить параболу с помощью сгиба бумаги, что мы и сделали. Про это можно найти вот здесь http://pandia.ru/text/78/170/99804.php

Сегодня были на редкость удачные уроки в этих классах, даже самые шебутные работали, и даже самые болтливые почти не шумели, а все потому, что мы много чего делали руками и наглядно. Все-таки в этом возрасте это очень и очень важно.

Первая часть урока была посвящена задачам о расстановках. Я раздала детям планшеты — это были комнаты, и пластмассовые кружочки от конструктора — это были стулья. Начали мы с простого, я попросила расставить восемь стульев вдоль всех четырех стенок так, чтобы у каждой стенки было по два стула. Потом мы убирали по одному стулу, и опять решали ту же задачу. Пошло очень бодро. Даже у первоклашек. Пусть не мгновенно, но решили все.
Дальше мы перешли к более сложному варианту. Один король приехал в охотничий домик, в котором было в форме квадрата 9 комнат. Свита короля состояла из 16 рыцарей. Король велел всем рыцарям разместиться по двое в крайних комнатах, а сам занял центральную. Рыцарям разрешено перемещаться из комнаты в комнату так, чтобы с каждой стороны в трех комнатах было по 6 рыцарей. И тут один из рыцарей решил отправиться на свидание к прекрасной даме, как остальным рыцарям переместиться, чтобы король не заметил, что их стало 15. Дальше решаем задачу для 14, 13, 12 рыцарей. А потом наоборот — один из рыцарей привел друга, и их стало 17. Как разместить рыцарей по-новому, чтобы король не заметил лишнего человека.

Вторую часть урока мы делали простые объемные картинки.

Очень всем понравилось. Я вообще люблю такие штуки.

Я думаю, что в основном все уже знают, что такое феномены Пиаже. Если вы не знаете, но интересуетесь, как эта математика у детей в голове укладывается и в какой последовательности, обязательно почитайте. Подробно про феномены Пиаже есть в моей любимой книге Звонкина «Малыши и математика». Можно посмотреть, например, здесь https://docviewer.yandex.ru/view/25777333/?*=Jc53KLOGOkW0ZfIQTbBXIL0mpE57InVybCI6Imh0dHA6Ly9pbGliLm1jY21lLnJ1L3BkZi8xLTcxLnBkZiIsInRpdGxlIjoiMS03MS5wZGYiLCJ1aWQiOiIyNTc3NzMzMyIsInl1IjoiODIxMDYzNDcwMTQyMTk5NzcxOCIsIm5vaWZyYW1lIjp0cnVlLCJ0cyI6MTUxMDQyNzE4ODg2MH0%3D&page=25&lang=ru
Более кратко про Феномены Пиаже написано у Жени Кац https://janemouse.livejournal.com/1113165.html Она тоже их регулярно наблюдает.

Теперь про сегодняшний урок.
1. Сначала мы играли в Живые картинки. Отличная игра на зрительную память.
2. Потом мы пытались учиться считать монетки. Учились мы вот так. Я наклеила каждому из детей картонную монетку достоинством 1 или 2 так, чтобы их в группе было поровну. Мы встали в кружочек и учились считать, сколько получилось денег. Посчитали, получилось, например, 12. Дальше я говорю, что монетки раскатились, дети разбежались, потом мы опять собираем цепочку, каждый ребенок завет следующего. Опять считаем. Сколько получилось? Опять 12. Опять разбежались, опять посчитали. Спрашиваю детей, сколько получится, больше или меньше? Ответы самые фантастические. Ни один из детей не сказал, что столько же. Включая самых сильных шестилеток, которые вообще-то легко считают, переходят через десяток и все такое. Это я к тем самым феноменам Пиаже.
3. Потом мы кружились и сцеплялись так, чтобы получилось 3 тугрика на двоих, то есть на монетках должно было быть 1 и 2, я просила детей поменяться монетками в паре, потом мы опять собирались в змейку и опять считали, и опять к удивлению детей получалось то же самое, но явно никто этого не предвидел.
4. Еще я поняла, что при том, что все, даже пятилетки довольно легко сравнивают числа, понятие, что можно купить на определенную сумму, для них в большинстве своем недоступно пока. Скажем, если у вас есть 5 рублей, можно ли купить конфетку за три. Отвечать на этот вопрос могут только шестилетки, и то не все, а отдельные личности. Так что пришлось поговорить на эту тему, и будем играть в магазин еще.
5. Дальше я раздала всем нарисованные кошелечки и попросила посчитать, сколько там денег. Пятилеткам только по 1-2 рубля. Шестилетки считали и с пятью, а некоторые и с 10 рублями. А дальше мы пытались понять, какие покупки можно совершить за эти деньги из предложенных вариантов с подписанными ценами. Для пятилеток цены были подписаны квадратиками, и все равно им было очень сложно, шестилетки пободрее считали, но тоже не то, чтобы было легко совсем.

С 1-3 классом мы решали задачи вот такого вида.
Есть проходы между пещерами Мраморной и Изумрудной, Золотой и Серебряной, Агатовой и Оловянной,
Серебряной и Изумрудной, Рубиновой и Перламутровой, Перламутровой и Золотой, Агатовой и Золотой. Можно ли пройти от Изумрудной до Агатовой пещеры?
Казалось бы, очень простая задача, составь схему (то есть граф) — и все сразу видно. Но оказалось, что детям это не так уж и просто.Нарисовать точечки-пещеры, соединть пещеры линиями — это еще как-то получалось, но оказалось, что многие, даже третьеклашки не могут увидеть, из какой в какую пещеру можно попасть, а из какой нет.

Еще мы поговорили, какие пещеры скорее всего расположены рядом, а какие нет, и попробовали нарисовать уже планарный граф.