Сегодня мы занимались простыми комбинаторными задачами. Практически полностью по книжке Анны Бураго, про которую я уже писала.
И, как и у нее, у нас получилось довольно большое расслоение — пара старших такие задачи щелкали, как орехи, и для них все эти обычные схемы с городами и деревьями были простыми и очевидными. А остальным нужно было это все еще переваривать и переваривать. Как нарисовать схему к задаче, какая схема к задаче подойдет и какая будет удобнее, как по схеме посчитать варианты — это все не так легко оказалось большинству.
Хорошо, что у меня был с собой запас задачек, и особо бодреньким я подсунула еще решать.
И мне очень нравятся задачки из книжки Анны Бураго, несложные, но интересно написанные, и поговорить есть о чем.

Например, вот такие.
1. Медвежонок полез на дерево за медом и упал на землю. Его друг Ежик – начинающий кинорежиссер – снял падение на пленку. Теперь Ежик собирается озвучить свой фильм. В каждый момент, когда Медведжонок задевает ветку дерева, Ежик планирует добавить звук “Ой-ой-ой”, “Ай-ай-ай” или “Бамс”. Сколько разных звуковых дорожек может сделать Ежик, если во время падения Медвежонок задел две ветки? Три ветки? Четыре ветки? Пять веток?
2. Иван-Царевич хочет освободить Василису Прекрасную, которая томится в замке. На воротах замка есть кодовый замок с 10 цифрами. Чтобы открыть ворота, надо набрать секретный код – четыре цифры в определенном порядке. Ворота охраняет голодный дракон Пашка, который любит сосиски. Когда Пашка ест сосиску, он не замечает ничего вокруг себя. Иван-Царевич пробует одно сочетание цифр за секунду, а Пашка съедает одну сосиску за 20 секунд. Когда Иван откроет ворота, ему понадобится еще одна минута, чтобы подняться в башню к Василисе и улететь с ней на ковре-самолете.
а) Сколько сосисок надо взять с собой Ивану, чтобы улететь целым и невредимым вместе с Василисой? Запас сосисок должен быть рассчитан на худший случай.
б) Сколько сосисок понадобится Ивану, если он заранее знает, что код состоит только из нечетных цифр?
в) Сколько сосисок понадобится Ивану, если он заранее знает, что код состоит только из нечетных цифр и в нем есть ровно одна цифра 5?

А в последние пятнадцать минут для разрядки я подсунула им задания на рисование со средней линией, какие мы делали в прошлый раз с 1-2 классом. И хочу сказать, не всем старшим такие задания легко выполнить, не все на глаз видят, какая линия средняя, довольно много было ошибок по невнимательности. Так что лишний раз внимание и глазомер прокачать оказалось полезным на мой взгляд.

Провела сегодня математический аукцион. Так же, как и для старших. https://my-mice.livejournal.com/321311.html
Я сомневалась, как пойдет у более младших. Все-таки там у меня 5-6 класс, а здесь в основном третий.
Но у меня тут народ сильный, и прошло прекрасно. Детям понравилось, мне тоже.
Первые задачки были те же. А третью я поменяла на более простую и короткую. Разделить семь пицц на восемь человек, сделав как можно меньше разрезов. Разрез — это линия, которая идет от края до края пиццы через центр.
Надо сказать, что здесь дети как-то не были склонны торговаться, блефовать и набивать цену, не было прямо такого азарта, какой был у старших. То есть им хотелось выиграть, но вот любой ценой выкупить право представить задачу не было. Они были намного осторожнее.
Не хватало умения скооперироваться, чтобы обсуждать что-то вместе. Надо бы им что-то еще придумать такого командного. Как-то явно чувствуется нехватка этого навыка.

Не так давно Женя писала про то, как они на уроке играли в кафе, и с тех пор я все время думала о том, что нам тоже нужно устроить что-нибудь в этом духе. Но все как-то никак руки не доходили. Но в итоге мы все-таки поиграли. У нас было так.
1. Мы играли в Делиссимо. С какими-то группами по самым простым правилам, описанным в самой игре, но вообще мне не очень понравилось. Там предлагалось играть только круглыми карточками. Три кладутся в середине. Каждому тоже раздается по три, и нужно за ход на две свои взять одну карточку из середины, чтобы две были эквивалентны по количеству одной, или наоборот — чтобы две из середины равнялись одной на руках. При том, что с Санечком я вполне играла по этим правилам, как-то тяжеловато пошло, и простых карточек маловато. Поэтому я придумала играть как в мемори с круглыми карточками, и составлять пару, если из двух карточек получается целая пицца. И отлично пошло! С особенно выдающимися шестилетками мы даже поговорили про то, что такое восьмая или четвертая. И они довольно бодренько потом в игре искали, где какой не хватает, называя, скажем две восьмых, или три восьмых.

2. Мы опять считали деньги, как несколько месяцев назад. Я опять наклеивала каждому монетку с надписью 1, 2 или 3, и мы пересчитывали, сколько получилось, потом разбегались, собирались по-другому и считали опять. Несколько месяцев назад мы тоже так делали, и никто мне не сказал, что будет так же. Я тоже никак это не прокомментировала тогда. А в этот раз большинство было уверено, что будет то же, что и раньше.
А еще с шестилетками мы очень неплохо присчитывали. Я называла исходное число, и каждый добавлял 1, 2 или 3 в зависимости от того, какая монетка была у него.

3. Собственно, кафе у нас выглядело так. Я разместила в комнате торговые точки. В каждой точке была большая картинка с блюдом, подпись и стоимость, а также набор таких же картинок поменьше. Стоимость дублировалась квадратиками. Каждому из детей я давала 10 палочек, он шел покупать, что мог на эти 10 палочек, потом приносил мне картинки, мы проверяли, что действительно получалось десять вместе по стоимости, я выдавала новые 10 палочек и он шел покупать новый набор. Всем понравилось очень. Но игры, типа магазина всегда пользуются большой популярностью.

4. Мы делали пиццы-аппликации. Я давала основу, и на нее нужно было наклеить красные кружочки(колбасу), зеленые треугольнички(огурцы) и белые квадратики (сыр).
Пятилеткам при этом нужно было заполнять таблицу, сколько каких продуктов ушло на их пиццу. Родителям обычно кажется, что это ерунда, а не задание. Но для пятилеток это совсем не так. Нужно сообразить, где что писать, правильно посчитать, далеко не всем пятилеткам это легко.
А вот шестилетки считали стоимость своей пиццы из расчета основа — 10, огурец — 1, сыр — 2, колбаса — 3. Конечно, просто считать такие большие числа, какие у них получалось, было многим тяжеловато, но присчитывать получалось у всех.

Сегодня мы с 1-2 классом занимались измерялками.
Начали с того, что играли в новенькую игру, которая называется Зверометр. При небольшой цене и маленьком размере игра довольно увлекательна.
Коротко о ней. Набор карточек — с одной стороны название животного, с другой стороны средний вес, средняя пушистость, средняя продолжительность жизни и максимальная скорость. Игроки по очереди берут по три карточки и должны расположить животных в порядке возрастания по одному из признаков. Мы играли по размеру. Оригинальные правила более сложные, их можно посмотреть здесь https://www.mosigra.ru/Face/Show/sm_zverometr/ , но нам и так хватило.

Дальше мы говорили о том, когда людям нужно на глаз определять размер. Потом я попросила детей поставить точку на белом листе, потом справа поставить точку на расстоянии 1 см, и внизу поставить еще одну точку на расстоянии 10 см. После этого мы проверяли, кто насколько ошибся.

Потом я просила показать, сколько же это, 1 метр. Сравнивали с настоящим метром. Потом просила прикинуть, сколько метров в длину наша комната. Ну, и проверяли.

С первоклашками еще поиграли в Мак-розу-мимозу. Не знаю, как у вас, а у меня есть поле с классиками (то есть попросту с клеточками из бумажного скотча) на обратной стороне поля для твистера. Отличная вещь, я вам скажу. Развернул — и все готово. Это я после того, как однажды целый час отдирала бумажный скотч от плитки. Прыгать по этому, конечно, не получится, но всякие ходилки-бродилки по клеточкам самое то. Первоклашкам очень понравилось.

А в конце занятия мы поделали еще задания на среднюю линию с любимого сайта mathpickle.com
Вот это http://mathpickle.com/project/dot-to-dot-median-path-puzzles/

В прошлом году в МЦНМО вышла прекрасная книжка Анны Бураго «Дневник математического кружка». Кружок рассчитан на 5-7 класс, как раз на мою старшую группу, но там кое-что можно взять и для более младших.
Там много чего полезного и интересного. В частности, про математические соревнования. Внутрикружковые олимпиады у меня идут как-то обычно не очень. Всегда приходится придумывать какую-то движуху вокруг.
И идея командного соревнования мне очень понравилась. Называется «Математический аукцион».
Правила такие.
Дети делятся на две команды, выбирают себе название и капитана, получают стартовый капитал. В нашем случае 100 тугриков. Получают первую задачу — она читается вслух, решают ее за установленное время. А потом начинаются торги за право эту задачу представить. Торги идут с шагом 5. Купившая право команда платит соответствующее количество тугриков — они просто снимаются с ее счета, и рассказывает задачу. Если у второй команды нет лучшего решения, то первая команда получает на свой счет стоимость задачи. В нашем случае 50 тугриков. Если вторая команда требует выставить задачу на торги, то торг начинается сначала.
Сегодня ребят было не очень много. И самых сильных как раз не было, но я все равно решила провести.
В этой игре нужно не только решать задачи, но еще и продумывать стратегии торгов, у одной из команд сегодня стратегия была неудачная, они потратили на первую задачу больше денег, чем можно было потенциально выручить, но все равно ее упустили, и в итоге сразу сильно отстали.
За час у нас получилось только 3 задачи.
1. Используя цифру 2 пять раз, получите как можно больше идущих подряд натуральных чисел, начиная с 1. Решение считается лучше предыдущего, если команда может продолжить список с того числа, на котором остановилась выступавшая перед этим команда.
2. Разрежьте круг семью прямыми линиями так, чтобы получилось как можно больше треугольников. «Треугольники» с кривыми сторонами не считаются, треугольники, состоящие из меньших треугольников и многоугольников тоже не считаются.
3. У купца Али есть золотая цепь из 20 звеньев. Али отправляется в дальнее путешествие и нанимает проводника для 20-дневного перехода через пустыню. Проводник требует в качестве оплаты по одному звену цепи за каждый день и выставляет условие: Али должен рассчитываться с ним в конце каждого дня. Для расчета с проводником купцу придется распилить часть золотых звеньев. Это требует дополнительных расходов, поэтому Али хочет распилить как можно меньше звеньев. К счастью проводник соглашается давать сдачу: например, Али может в первый день расплатиться одним звеном, а во второй отдать проводнику кусок цепи из двух звеньев и получить обратно вчерашнее звено. Какое наименьшее число звеньев должен распилить Али, чтобы выполнить условие проводника?

Первые задачи пошли довольно бодро. Третья уже с трудом.
Но детям понравилось, мне тоже. Я думаю, обязательно еще повторим где-нибудь в конце года.

Я поняла, что математику можно привязать к игре практически на любую тему — толчком для выбора темы может быть все, что угодно.
Вот, например, все помнят, какой снегопад обрушился на Москву десять дней назад. Так родился новый урок для дошкольников.
1. Сначала мы говорили про то, какие появились пробки — и играли в Траффик Джем по простым правилам. Собирали карточки, которые идут подряд. А в конце выложили огромную пробку из двадцати машин.
2. Потом поговорили о том, почему же у нас такие пробки и про уборку снега. Я разложили тарелочки — это машины, куда мы грузим снег. И насыпала целую кучу комков снега. На каждом комке снега (белом кружочке) нарисовано какое-то количество снежинок, по разному сгруппированных. Нужно было посчитать, сколько снежинок — и отнести этот снег в машину с соответствующим номером.
3. Снег мы убрали. Ручки у нас замерзли. Очень кстати у меня остались задания от урока про варежки. Задание было соединить варежки так, чтобы получились слова. На левой варежке — первый слог, на правой — второй. Это было задание только для шестилеток. И довольно трудно пошло у большинства. Для особенно шустрых у меня были дополнительные задания с парными варежками.
4. А потом мы строили гигантские снежинки из палочек. Мы поговорили про то, как устроены снежинки. Оказывается, большинство детей никогда не видело снежинок — не рассматривало их на варежке. Дорогие родители! У детей обязательно должно быть время для того, чтобы оглянуться вокруг. Не забывайте об этом.
Самый лучший формат оказался такой — каждому выделить свой сектор, и по очереди докладывать до трех палочек, чтобы все остальные повторяли.
Смотрите, какая красота у нас получилась.

Я сама человек творческий, и поэтому меня очень радует, когда мои ученики проявляют творческую инициативу на уроках. Например, сегодня один мой шестилетний ученик придумал новую подвижную игру.
Игра называется «Превышение скорости»
Итак, поле — как при игре в Цвета(светофор), то есть два домика, и поле посередине. Все дети, кроме воды, вытягивают из пачки перевернутых тыльной стороной тарелочек с цифрами одну тарелочку. Выбрать тарелочку нельзя. Вода тоже не видит, кто что вытянул. Он поворачивается к детям спиной. Вода — «инспектор ГАИ». Дети надевают себе тарелочки на шею. Число на тарелочке — показание скорости на спидометре.
Вода спиной к детям называет число — ограничение скорости, и тут же поворачивается.
Те дети, у которых скорость оказалась меньше ограничения, спокойно переходят в другой домик, а те, у кого скорость оказалась большей, должны быстро перебежать, а инспектор наоборот пытается их осалить.
Мне кажется, отличная подвижная математическая игра получилась.

Не знаю, как у кого, а у меня обычно аппетит приходит во время еды: стоит чем-то заняться, осуществить какой-то проект, как тут же приходят в голову новые и новые идеи. Сразу после Рождественского праздника, который я делаю много лет — всегда приходят идеи, как можно сделать следующий. Сразу после игротеки — только успевай записывать идеи для следующей.
Так и с геодосками. Недавно я увидела очень симпатичную игру под названием «Китайская стена» https://ru.puzzle-loop.com/?size=0, и мне пришла в голову идея реализовать ее на геодоске.
Выглядело это так. Я отделила поле 5 на 5 штырьков, и дальше сказала, что у нас есть страна, которая состоит из квадратиков-районов. (Тут мы сразу поговорили о том, как понять, большая страна или маленькая — посчитать, сколько квадратиков. То есть стали разговаривать про площадь даже с первоклашками, чтобы не было вот этого «площадь — это длина умножить на ширину») Потом мы поговорили о том, что страну надо охранять. И нужно знать длину ее границ. И посчитали периметр.
Я очень люблю легенду про периметр из Нулика-морехода Левшина, поэтому рассказала ее в своей обработке.
У нас есть человек, который каждый день объезжает границы нашей маленькой страны. Он самый быстрый наездник, и люди привыкли к тому, что он скачет там и тут. Зовут его Периметр. Люди так привыкли всегда его видеть при исполнении его обязанностей, что стали называть периметром не только его самого, но и путь, который он проезжает каждый день.
Я попросила всех детей сделать свою страну и посчитать ее размер и периметр.
А дальше я сказала, что каждый район должен выставить по одному воину на единицу границы, которая его окружает. Каким-то районам повезло — они внутри страны, а каким-то нет, и им приходится выставлять аж по три воина. И я попросила наклеить половинки ценников на все квадратики, и написать, сколько воинов должен выставить каждый район. А потом попросила убрать границы страны. Дальше дети менялись и восстанавливали границы чужих стран. Надо сказать, что это нелегко в общем-то.
А потом я давала задания на листочке. Это было совсем сложно. И нужно мне будет сделать несколько штук попроще, а то как-то все совсем закопались.

Помимо геодосок мы еще разбирали классическое понятие вероятности.
В школе вероятность появилась относительно недавно, и как-то она вводится на пальцах. По крайней мере мне так показалось по учебникам Анюты.
А я решила, что мы разберем математически четкое определение.
Ничего такого, недоступного ученику пятого класса там нет.

Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению m к n, где:
n – общее число всех равновозможных, элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий;
m – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

Нужно просто понять, зачем здесь каждое слово, и почему оно важно. Поэтому мы разбирали разные примеры на то, что такое элементарные исходы, а что нет. Что такое полная группа событий, и рассматривали разные варианты.

А потом я дала самостоятельно решить несколько несложных задач на теорию вероятности. И все прекрасно решили. Единственный момент — я никак не могу понять, почему большинство школьных задач такие унылые. Я пролистала несколько десятков задач. Просто тоска зеленая. Ну, я понимаю про кубики — они очень удобные, что-то аналогичное сложно придумать. Но остальное-то тоже такое унылое — про какие-то бракованные сумки и холодильники, про спортсменов, про бесконечные шарики и так далее. Почему нельзя добавить хоть чуть-чуть креатива, и детям стало бы намного интереснее решать. В любом классе, не только в началке.
Поэтому пришлось мне сочинить несколько задач. У нас были задачки про Тома Сойера, и про Винни-Пуха, и про Хогвартс. Все веселее.

А еще мы поговорили о том, как важно понимать в каждой задаче, что именно является элементарным исходом и сколько их.
В качестве примера мы разобрали вот такую задачку. Вы идете в гости в семью, где четверо детей. Как вы думаете, скорее всего там 1) все дети однополые 2) поровну 3) отношение один к трем. Мы считаем, что вероятность рождения мальчика или девочки одинаковая.

У нас почему-то принято считать, что наглядный материал – это для дошкольников прежде всего. Зачем всякие танграмы, кубики, досочки, мозаики – глупости одни для детишек. А на самом деле вся эта наглядность отлично подходит и школьником тоже.
Вот, сегодня я со всем детьми занималась геодосками. И не то, что не было легко, а у меня осталось материала еще на урок для каждого класса.
1-2 класс. Я сначала попросила сложить свое имя, причем так, чтобы каждая буква была пусть условной, но из одной резиночки. Неожиданно очень трудно пошло у второго класса. Первоклашки как-то были сильно креативнее. А второй класс просто никак не мог придумать – а как натянуть Н, а как натянуть М.
Потом я просила зарисовать на точечной бумаге, что у них получилось. И тоже не то, чтобы получилось очень легко.
Дальше я предложила им сделать шифровки. Натянуть несколько букв одну поверх другой. Это понравилось всем очень. Дети с удовольствием как делали шифровки, так и отгадывали, и на это ушло куча времени.
Еще была серия задач про море и архипелаг, которые мы потом делали и со старшими.
Море отгораживаем квадратиком пять на пять. В середине получаются 16 штырьков в виде квадрата.
Задания:
Разместить там сначала три разных треугольных острова, потом два разных четырехугольных острова, потом два пятиугольных острова, два шестиугольных острова – все это так, чтобы они не касались друг друга, и были честными многоугольниками. Считаем, что если штырьки лежат на одной прямой, то и резинка, огибающая их, – отрезок, с какой бы стороны она не огибала штырьки. До шестиугольников дошли только отдельные выдающиеся личности.
Еще были задания – сделай девятиугольный остров с треугольным островом внутри. 12-угольный остров, и хит – 16-угольный остров.

Еще я нашла прекрасную англоязычную книжку https://www.mathedpage.org/geometry-labs/gl/geometry-labs.pdf
Спасибо https://klarissa45.livejournal.com
Это лабораторые работы по математике для старших классов с использованием наглядных материалов. Просто суперкнижка.

И я решила воспользоваться ей, чтобы поговорить с третьим-четвертым классом о периметре и площади.
Нулевое задание оказалось совершенно неожиданно сложным. Я показала детям геодоску, и спросила – если я натяну прямоугольник по одной стороне на 4 штырька, а по другой на 5, то какая будет площадь. И все как один бодро ответили, что двадцать. Я призвала подумать. Недодумались. Пришлось раздать доски и попросить проверить. И даже с доской додумались не сразу, почему не двадцать.
Потом я попросила из одной резиночки натянуть букву Н. Мы посчитали ее площадь. Как обычно оказалось, что не все понимают, что это вообще такое. У многих в голове только вот это – длину умножить на ширину. Пришли к тому, что можно считать квадратики. Дальше я попросила посчитать периметр. Посчитали. Потом я попросила построить другие фигурки с площадью в данном случае 7. И считать периметр. Обсуждали, может ли полимино иметь нечетный периметр и почему нет.
Под конец я попросила на поле 5 на 5 натянуть как можно больше квадратов разной площади. К тому, что можно натянуть квадрат со сторонами, непараллельными сторонам планшета пришли с большим трудом.
На этом получилось все, а мне еще хочется поговорить про площади- периметры.