Поскольку в прошлый раз с доказательствами вообще, и доказательством от противного возникли сложности (кстати, вторая старшая группа как-то легче все восприняла, не знаю почему), я решила вернуться к книге Раскиной, о которой я уже писала. И проштудировать с детьми главу «Доказательство от противного». Пошло очень и очень тяжело. Но формальная логика вообще у нас туговато шла. У детей прямо закипали мозги.
А тут нужно четко осознавать, где у нас причина, где следствие, где прямое высказывание, где обратное, где противоположное, где противоположное обратному. В целом мы решали, но коллективно — с моими песнями и плясками. И явно у них не уложилось. То, что прямое высказывание не равносильно обратному вроде бы все поняли уже давно, и не ошибаются. Но то, что прямое высказывание равносильно противоположному обратного по-моему так и не уложилось. Я думаю, что мы потихоньку будем небольшие упражнения на это делать.
Среди задачек мы решали довольно сложные. Например, такую.
«В клетках шахматной доски как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 64. Докажите, что найдутся две соседние по стороне или по вершине клетки, числа в которых отличаются не меньше чем на 9.»
Здесь же поговорили о бесконечности простых чисел. Нашелся даже котик, который знал, как это доказывается.
Но ушло некоторое время на осознание того, что здесь причина, что следствие. И причем здесь доказательство от противного.
У меня был еще материал, но мне нужно было срочно разгрузить детей, и мы тоже порисовали змеек. И дети сами сообразили, почему нечетные змейки возвращаются.

Сегодня с детьми мы отправились на Тропический остров.
1. Первый-второй класс сначала получил задание лечь на другой галс. То есть нужно было по клеточкам симметрично отобразить кораблик. В целом все справились, но не могу сказать, что было прямо совсем легко, особенно первоклассникам.
2. Дальше мы разговаривали про обычаи племени Мумба-Юмба по материалам Наташи Рожковской.
Я рассказала, что туземцы этого племени обладают таинственным знанием особой математики. У них есть две операции — солнышко и ананас.
Солнышко = сложение.
Ананас = выбор наибольшего из двух чисел.
Сначала мы решали разные примеры на солнышки и ананасы в разных сочетаниях.
А потом нужно было заполнить табличку солнышек до 8, и табличу ананасов до 8. И постараться увидеть закономерность, как эта таблица легко и быстро заполняется. Так вот закономерности видеть не так-то просто. Хотя многим и удалось.
3-4 классу я еще дала задание закрасить красным в таблицах все числа, которые делятся на 3, и синем те, которые делятся на четыре.
3. Мы знакомились с местной фауной — по материалам книжки «Математика — это красиво» Мы рисовали змеек. У нас были домашние змейки — которые всегда возвращаются. И дикие — которые уползают.
Змейка строится так. Берется, например, три числа. Скажем, 2-3-4, в центре листа ставится точка, и рисуется линия — 2 клеточки вправо, 3 вверх, 4 влево, 2 вниз, 3 вправо, 4 вверх и так далее.
Смотрели, как получается в зависимости от количества цифр и их последовательности, рисовали и раскрашивали разные змейки. Некоторым товарищам отдельно написала задание домой со змейками по их просьбе.

Сегодня у нас было занятие про варежки.
Оказалось, что про варежки можно придумать целую кучу заданий. И мы даже не все успели.
1. Сначала я сделала игру, вроде «Где Додо», но с варежками. То есть у меня была куча варежек с разными признаками — три основных цвета, с отворотами трех цветов и без, правые и левые, со снежинками, ромбиками и заплатками. Я прятала мышку под варежку и просила детей искать, называя признак, который отсекал бы как можно большее количество варежек. И было ох как непросто. Пятилетки с большим трудом удерживались от того, чтобы не называть конкретную варежку. Признак правая-левая был особенно сложным. Его называли все самым последним — и пятилетки, и шестилетки.
2. Я сделала картонные варежки так, чтобы было по два вида по разным признакам — правые-левые, красные-желтые, со снежинками или с цветочками, с тремя рисунками и двумя, и давала задание: те, у кого правые варежки, прыгайте на месте, а те, у кого левые, — хлопайте в ладоши, те, у кого красные варежки, покажите мне 4 пальца, и те, у кого желтые — 3 пальца. Отличное задание получилось. Особенно для тех, кто привык смотреть на других. Буду пытаться делать аналогичные.
3. В конце предыдущего задания нужно было найти пару своей варежке.
После этого мы занялись украшением варежек. Пятилеткам я просто дала две соединенные варежки, и нужно было их симметрично украсить наклейками-ценниками. А шестилеткам было задание посложнее, но как оно мне понравилось! Я дала им две варежки на двоих, и сказала украсить их вдвоем так, чтобы они вышли одинаковыми. Детям так понравилось, что мы в два раза дольше занимались этим, чем я планировала. Получились совершенно прекрасные работы. Как только мне пришлют фоточки, обязательно выложу. Они так здорово обсуждали, где какой цвет и рисунок будет, что я просто не могла нарадоваться. Все-таки сотрудничество гораздо лучше соревновательности. Что бы еще такое придумать? Ни у кого нет какого-нибудь еще задание на взаимодействие?
4. А еще у нас было задание про то, на сколько больше. Поскольку у 1-2 класса внезапно оказались проблемы с представлением того, что же такое больше НА, то я решила превентивно поработать с дошкольниками. На распечатке был ряд из 6 левых варежек, потом ряд из 6 правых варежек. Нужно было бросить кубик, раскрасить столько левых варежек, сколько выпало, потом еще раз бросить кубик, раскрасить столько правых варежек, сколько выпало, написать, сколько всего получилось, потом обвести «лишние» варежки, и написать, насколько больше правых или левых. Самым умным шестилеткам я предложила сделать еще то задание, которое давала 1-2 классу — по сумме и разности найти количество варежек. Отдельные личности справились, но вообще я думала, что это задание пойдет легче. А тут им пришлось некоторое время повозиться.
5. В качестве домашнего задания я дала варежки, нарисованные по клеточкам. На левой варежке узор, на правой варежке узор. Их нужно объединить, чтобы варежки получились одинаковыми.

Со старшими мы еще занялись принципом Дирихле. Это знаменитое утверждение о том, что если в N клетках сидят N+1 кроликов, то в какой-то клетке сидит не меньше двух кроликов.
Проблема оказалась в том, что дети совершенно не видят, что тут можно доказывать. Очевидно же — и все их доказательства сводились к формулировке задачи другими словами. И вообще похоже, что идея доказательств для них пока не очень понятна. А уж идея доказательства от противного тем более. Так что придется нам вернутся к логике и доказательствам вообще, и доказательству от противного — в частности.
Хотя задачки на принцип Дирихле мы все равно поразбирали, хоть и было нелегко — не в смысле понять задачки, а в смысле выстроить доказательство.

Как известно, Исаак Ньютон говорил, что видел дальше других только потому, что стоял на плечах гигантов.
Мы все (ведущие математических кружков для младших детей) конечно стоим на плечах ученых математиков и ведущих математических кружков для взрослых. Но вот наше дело все-таки еще достаточно молодое. Совсем недавно вообще людям пришло в голову, что математикой — настоящей взрослой — вполне можно заниматься и с достаточно мелкими детьми.
Материалов — так, чтобы на много лет занятий, да еще под конкретную группу и условия — не то, чтобы очень много. А да недавнего времени, кроме книжки Александра Звонкина вообще ничего не было.
Зато сейчас есть сетевые дневники занятий разных ведущих, и можно обмениваться идеями, обсуждать, у кого что получилось, и на основании их придумывать что-то свое. Иногда идея рождается у кого-то одного, потом другой ее модифицирует, и она автор пользуется уже более удачной и удобной версией.
Я в первую очередь пользуюсь, конечно, книжками и идеями Жени Кац и Сергея Пархоменко, но не менее прекрасны дневники занятий Натальи Астаховой и Ольги Оводовой. Их дневники я листаю чаще всего, когда мне нужны новые идеи и хочется набраться вдохновения.
В этот раз я взяла анаграммы из книжки Антона Тилипмана «Зубака».
А потом были шифры из дневника Натальи Астаховой https://mamochka-nata.livejournal.com/41097.html
Я давно хотела потренировать арифметику, потому что чувствовала, что у многих с этим проблемы. Но не ожидала, что так все грустно. Более или менее адекватно с этими шифровками справился только 3-4 класс. И то регулярно кто-то сидел и не мог сообразить, как же из этих чисел получить, скажем, 14 или 22.
А еще я взяла тему «Кирпичики» из книжки «Математика в твоих руках», но я долго думала, как же сделать эту тему более наглядной, даже думала на тему того, чтобы склеить плашечки — благо их у меня много. Но тут я вспомнила про свои любимые snap cubes. И отлично получилось — я нарисовала часть заданий в натуральную величину, считая, что один кирпичик = два кубика. А часть нарисовала в масштабе. И очень даже неплохо пошло. Всем понравилось.

Со старшими я начала введение в теорию вероятности. Мне кажется, это хорошая тема, в которой много чего интересного, и в пятом классе она уже вполне посильна.
Начали с базовых понятий — достоверных, случайных и невозможных событий. Искали разные примеры, определяли, какие события какие.
И рассмотрели, какие случаи будем рассматривать — что события действительно случайные, никто сознательно не жульничает и не подыгрывает определенным исходам.
А дальше поговорили про равновероятное события. И ставили эксперимент с небольшим количеством испытаний — смотрели, что количество разных исходов бросков кубика, скажем, если бросков 20-30, могут отличаться в три-четыре раза.
А если испытаний уже около 200, то такого разброса уже нет.
Дальше мы поговорили про ситуацию, когда два близнеца хотят купить в автомате одинаковые жвачки. А в автомате два сорта жвачек. Сколько жетонов им нужно бросить, чтобы событие «одинаковые жвачки» стало достоверным.
Ну, и дальше решали задачи про «В худшем случае».

С третьим-четвертым классом про тервер мы пока не говорили, зато поговорили про шоколадки.

И в обоих случаях были шоколадки для близнецов, но из Хмелинского, где можно делить по диагонали клеточки. И местами они, ох, какие трудные. У меня было две странички. Одну страничку целиком решил только самый геройский герой. Остальные максимум пару заданий.

Первая тема начиналась с конфет, но потом расширилась на разное другое тоже.
Официально тема называется «Задачи на сумму и разность». Например, «у Насти и Даши было вместе 7 конфет, причем у Насти на 5 больше, чем у Даши. Сколько конфет у Насти и сколько у Даши.»
И тут вылезают все традиционные школьные проблемы — «Это задача на прибавление или на отнимание?» (хорошо, этого было мало, буквально 1-2 человека на все группы), если написано на 5 больше, а кроме этого есть еще 7, то нужно сложить 5 и 7. Но некоторые товарищи довольно быстро стали подбирать — и довольно успешно.
Я всем раздала палочки. Велела решать с помощью палочек. В общем-то практически все довольно быстро разобрались, что к чему, и решали правильно. Хотя разным темпом, конечно. Многим и многим пришлось потратить много времени, чтобы осознать, как выглядит вот это — на два больше. То есть ребенок выкладывает, скажем, 7 палочек рядочком, под ними 5 палочек рядочком. Я спрашиваю, на сколько больше. Он еще раз пересчитывает, вычитает в уме, и отвечает. То, что две палочки торчат, ему ничего не говорит. Механически все считают, а представление так и не сформировано у очень многих.

Вторая тема была про шоколадки. Сначала мы решали такую задачу.
Есть плитка шоколада из 8 плиточек. Сколько нужно сделать прямых разломов, чтобы разделить всю шоколадку на плиточки. Ломать можно одновременно только один кусок.
Мы решали с разным количеством плиточек. Я с большим трудом добилась того, чтобы дети увидели закономерность — как связаны количество плиточек и количество разломов.

Потом порешали про шоколадки для близнецов разного уровня. Это было легко.

Поскольку новый год был совсем недавно, то мы решили в целом продолжить эту тему.
1. Сначала поиграли в свежеподаренный Санечку Фруктаж.
2. Бегали с переключением. Сначала просто — я говорила: «Дорога», и нужно было просто бежать,
дальше «Сугробы», и нужно было идти, высоко поднимая ноги, потом «Лед», и нужно было идти медленно-медленно, и в конце «Полынья» — остановиться. Дальше я переводила все в цифры. Скажем, Я считала до 20, сначала дорога, на счет 10 начнутся сугробы, на счет 20 — полынья, и усложняла. Не могу сказать, что было легко. Я специально делала простые числа — скажем, пятерками, чтобы было легче запомнить. Но все равно было непросто.
3. Мы опять играли в стратегическую парную игру с кубиками. На этот раз было поле 4 на 4, где были цифры. Для пятилеток были цифры 1-6, им нужно было кидать по очереди кубики, и выкладывать камешки своего цвета на соответствующие цифры, стараясь получить четыре в ряд. Для шестилеток уже были варианты поля, где нужно было выкладывать не на то, что выпало, а на то, что выпало +1 или -1. Предварительно я демонстрировала игру от имени игрушек, чтобы мы могли обсудить стратегию — куда лучше класть камешки и так далее.
4. Еще одна беготня. На этот раз с наклеенными на стены елочками с разными шариками. Я давала задания, вроде «Найди елочку, где ровно 3 желтых шарика», «найди елочку, где всех шариков поровну», «найди елочку, где красных и желтых шариков вместе 3» — почему-то такая формулировка оказалась сложной, «где синих шариков на два больше, чем желтых», и даже мы немножко поговорили про то, что такое «в два раза» или «в три раза» — вполне неплохо пошло (у шестилеток, конечно), и дети поискали елочки, где одних шариков в два или в три раза больше, чем других. Вообще вот это представление » на два, на три» — явно нуждается в работе с конкретным материалом, потому что выяснилось, что и у старших детей с этим проблемы. Но об этом позже.
5. Для пятилеток было задание такого плана — Мешок с леденцами разных форм, нужно было раскрасить леденцы одной формы одним цветом, потом в табличке в соответствующей графе раскрасить столько же квадратиков, и написать число. В принципе задание само по себе несложное. Но пятилеткам сложно запомнить инструкцию, даже если мы сначала вместе делали у доски. Все равно многие делали, как Бог на душу положит.
6. А у шестилеток было задание на дележ шоколадок. И очень по-разному пошло. Кому-то прямо легко-легко — ососбенно тем, кто уже на УЧИ.РУ занимается, а некоторым пришлось голову поломать.

Настолка у нас была самодельная — разрезанные на половинки снежинки, с которыми мы играли как в мемори.

У дошкольников дальше была беготня, навеянная совершенно неновогодней погодой. Дети были снеговиками, подушечки (в некоторых группах стульчики) — это холодильники, куда наши веселые снеговики должны были прятаться при разных условиях.

С шестилетками еще мы пытались поговорить про месяцы. Пошло очень туго. Месяцев не знал почти никто, разве что отдельные личности, и то с трудом. Но как-то совместными усилиями вспомнили. Почти никто не знал дату рождения.

Дальше мы занялись измерялками с помощью моих любимых соединяющихся кубиков. Сначала мерили все вокруг. А потом уже у каждого было задание — померить елочки на раздатке.

И в конце делали открытку с сайта Крокотак. Открытка очень простая. Нужно было отмерить с одной стороны 7 кубиков, с другой стороны два, соединить волнистой линией и вырезать. Дальше сложить и наклеить треугольников-елочек и квадратиков-подарков. Тут обнаружилось внезапно, что есть дети, даже шестилетки, которые не умеют резать ножницами. 😦

С 1-4 классом мы тоже говорили про календарь, но уже более продуктивно и делали календарь-додекаэдр, те, кто быстро справился, получал по этому календарю задание. Опять же выяснилось, что 1-2, а то и некоторые третьеклашки не очень-то в календаре ориентируются, не могут определить, когда какой день недели, некоторые не знали, сколько дней в месяце, там что мы поучились считать по косточкам.

Зато со старшими, которых я вообще не балую поделками, мы делали довольно несложный объемный календарь с крокотака — из шести объемных открыток, по два месяца на каждой. Но перед каждой открыткой решали задачки про календарь, которые я насобирала с разных мест.
Например, такая:
На столе стоит «вечный календарь» — из двух кубиков с цифрами, и набором наклеек из месяцев.
Видны цифры на одном кубике — 2, 1, на другом — 5, 3, 4. Вопрос — какие цифры на скрытых гранях кубиков, чтобы с помощью переворотов и перестановок кубиков можно было бы получить любое число месяца?
Или такая:
В каком месяце может быть воскресений больше, чем любых других дней недели?
Или довольно известная (но дети ее почему-то не знали) Петя утверждает, что позавчера ему было 10 лет, а в будущем году 13-ть. Как такое может быть?
Еще была данетка (Спасибо Оле Оводовой) и фокус из Гарднера.