Теперь мы в рамках разговоров о всяких интересных кривых разговаривали о циклоиде.
Это такая кривая, которую описывает фиксированная точка колеса, которое катится по дороге.
Для этого мы рисовали траекторию, которая получится, если катить треугольник, потом квадрат, потом шестиугольник, потом круг.
Делали мы это так.
Я просила вырезать полосочку из картона, приклеить ее к листу бумаги, потом вырезать соответствующую фигуру, надрезать в уголочке, вставать в этот уголочек карандашик, и покатить фигуру по полосочке.
Попутно мы еще обсудили, как построить равносторонний треугольник с помощью циркуля и линейки, как построить правильный шестиугольник, и как получить квадрат из неровного листа бумаги совсем без всяких инструментов.
Не могу сказать, что все получилось прекрасно — половина детей возраста 5-6 класса не в состоянии самостоятельно получить хотя бы более или менее ровную полосочку из картона. 😦 А уж сложить квадрат — это вообще почти из области фантастики. Тем не менее примерно треть группы вполне себе справилась со всем.
А под конец мы еще порешали всяких веселых логических задачек. Но тут сегодня у большинства первый день каникул, и детям очень сложно было адекватно воспринимать абсурдность условий.
Например, были такие задачки.
Верно или неверно такое рассуждение. Докажите:
1) Некоторые кочаны капусты – паровозы. Некоторые паровозы играют на рояле. Зна-
чит, некоторые кочаны капусты играют на рояле.
2) Все крокодилы умеют летать. Все великаны являются крокодилами. Значит, все
великаны могут летать.

Поскольку я по прежнему хочу, чтобы дети решали логические задачи, а они сложные, то мы половину урока решаем их, а другую половину обсуждаем более наглядные вещи. Например, такую.
Знаете ли вы, сколько раз одна монетка обернется вокруг своей оси, пока будет катиться вокруг такой же неподвижной монетки?

В это сложно поверить, если не убедиться самому, но правильный ответ — два.
При этом фиксированная точка вращающейся монетки нарисует интересную фигуру под названием «Кардиоида».
Ее несложно построить с помощью циркуля, что мы и сделали

При этом видно, что хотя монетка обернулась два раза, эта самая точка вернется в исходное положение только через полный оборот.
Этот старинный парадокс многие знают как историю о белке и охотнике. Белка сидит на дереве. Охотник, пытаясь подкрасться к ней сзади, обходит вокруг дерева, но зверек, не спуская глаз с охотника, прячется за стволом и постепенно описывает полный круг.
Обойдет ли охотник вокруг белки после того, как он обойдет вокруг дерева?
Разумеется, на этот вопрос невозможно ответить, пока мы не условимся, в каком смысле надлежит понимать слово «вокруг». Многие слова в повседневной речи не имеют точных определений. Остроумный разбор парадокса с охотником и белкой дан в классическом философском сочинении Уильяма Джеймса «Прагматизм». Джеймс приводит этот парадокс как модель чисто семантического разногласия. Трудности такого рода исчезают, как только обе стороны осознают, что спор по существу идет об определении слова. Если бы люди отдавали себе ясный отчет в важности точных определений того или иного слова, многие ожесточенные споры разрешались бы почти столь же безболезненно.

Трудно поверить, но даже люди, известные своей ученостью, относились к этому парадоксу весьма серьезно. Август Де Морган в первом томе своей книги «Кладезь парадоксов» дал обстоятельный обзор нескольких брошюр XIX в., подвергавших резкой критике тезис о том, что Луна вращается вокруг собственной оси. Лондонский астроном-любитель Генри Перигэл был неистощим на аргументы, опровергавшие вращение Луны. По словам автора посвященного ему некролога, «главной астрономической целью жизни» Перигэла было убедить всех в том, что Луна не вращается вокруг своей оси. Перигэл писал брошюры, строил модели и даже сочинял поэмы, чтобы опровергнуть широко распространенное убеждение в том, будто Луна вращается, «стойко перенося непрерывное разочарование при виде того, как ни один из его аргументов не достигает цели».

Когда задача о монетах была впервые опубликована в журнале Scientific American за 1867 г., в редакцию хлынул поток негодующих писем от читателей, придерживавшихся противоположного мнения.

Редакционная почта достигла столь угрожающих размеров, что в апреле 1868 г. редакторы объявили о прекращении дискуссии на страницах журнала Scientific American и о продолжении ее на страницах нового журнала The Wheel («Колесо»), специально посвященного «великой проблеме». По крайней мере один номер журнала вышел. Основное место среди иллюстраций там занимают многочисленные схемы и рисунки сложных устройств, призванных, по замыслу приславших их читателей, убедить редакторов в ошибочности занятой ими позиции.

1. Я счетными навыками со школьниками уже мало занимаюсь, но иногда устраиваю какие-нибудь разминки или игры. В этот раз решила поиграть в 7 на 9, без всякой скорости, по очереди. Для игры требуется умение прибавить и вычесть 1,2,3, в том числе и с переходом через десяток. Так вот, среди первоклашек разделение — кто-то очень бойко считает, а кто-то совсем нет.
2. Дальше мы рассматривали картинку (спасибо за идею Ольге Оводовой), где всех по два и два по одному. По одному это Окружность и Круг.

Тут очень интересно поговорить про то, что же такое окружность. Пыталась получить внятное определение. Ладно первоклашкам сложно, это вообще непростая штука, но и старшие дети, с которыми мы уже точно про это уже как-то разговаривали, с трудом вспомнили про то, что же это все-таки такое.
3. С 2-3 классом мы еще порисовали круги с помощью клеточек по формуле 1-3-1-1-3-1. Это из Шарыгина. Так рисуется круг, радиусом пять клеточек 4 очевидные опорные точки, и еще 8 менее очевидных.
3. Мы играли в Волшебный круг — это такая головоломка, вроде танграма, только круг получается. Для младших я нарезала из тонкой пенки круги, и они просто складывали, а третьеклашки сами нарезали из цветной бумаги с помощью небольшой сказочки по ходу дела, и в итоге делали свои аппликации.

Продолжаем заниматься формальной логикой.
Дорешали задачки на логические И и ИЛИ.
Например, такую
Андрей является участником шоу-викторины. Главный приз спрятан в
одном из ящиков. Андрей получает 4 подсказки:
1. Приз находится в синем или зеленом ящике.
2. Приз находится в красном или желтом ящике.
3. Приз находится в зеленом ящике.
4. В желтом ящике приза нет.
Три подсказки ошибочны и только одна правильная. Андрей поразмыслил и открыл
правильный ящик. Ящик какого цвета он выбрал?
В целом решают вполне, но более сложные, конечно, тяжеловато уже. Вот эту решали коллективно только.
Один из пяти братьев испек маме пирог.
Никита сказал: «Это Глеб или Игорь».
Глеб сказал: «Это сделал не я и не Дима».
Игорь сказал: «Вы оба шутите».
Антон сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул».
Дима сказал: «Нет, Антон, ты не прав».
Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?
А потом перешли к логическому следствию. А -> Б. Это вообще такая операция, которая со здравым смыслом слегка расходится. То есть в ее таблице истинности в результате 0(или ложь) получается только в одном случае — когда из истинного высказывания, следует ложное. А вот, из лжи может получиться все, что угодно. И это принять, конечно, тяжело. Ну, и то, что в общем-то эти высказывания вполне могут между собой не быть ничем связанными.
Пример. «Если новый год в России отмечают 10 июля, то Волга впадает в Каспийское море» является вполне себе истинным высказыванием. Так же как и «Если новый год в России отмечают 10 июля, то Волга впадает в Охотское море».

Люблю я все-таки делать тематические уроки — про пиратов, или про Францию, или еще про что. В этот раз у нас был кошачий урок.
1. Поиграли в котосов.
2. Решали логические задачки про котов. И тяжело это все идет, хочу я сказать. Простые задачки еще ничего. Их решили в целом все. Вроде такой:
«Для Рыжика, Барсика и Мурзика есть три пирога: с рыбой, сосисками и ветчиной. Мурзик не любит рыбу и сосиски. Барсик не любит сосиски. Кто что выбрал?» Я сразу на раздатках рисовала таблицы, чтобы дети не отвлекались. Им нужно было только заполнить, и понять, что получится в итоге.
Но даже когда количество расширялось до четырех, уже некоторые не могли.
А вот эту задачку по-моему не решил никто. А мне кажется, она несложная.
«В трехэтажном доме Миша живет выше, чем Петя, но ниже, чем Слава. У мальчиков есть кошка, собака и черепаха. На первом этаже живет кошка. У Миши нет собаки. Как зовут хозяина черепахи? »
То есть с наводящими вопросами решили, конечно. А сами — никак.
А я так люблю всякие такие задачки…
3. Поскольку у детей явно закипали мозги, то под конец мы порисовали по клеточкам и повырезали. Я вообще очень люблю всякие графические диктанты, рисунки и так далее. Современные дети там мало конструируют, что не удивительно, что потом проблемы с геометрией у очень многих. Казалось бы — задание простое совсем, скопировать животное по клеточкам. Но даже в группе третьего-четвертого класса у некоторых котов получались лапы разной длины.
http://krokotak.com/2013/03/block-paper-animals/

Со старшими мы продолжаем разбираться в формальной логике, более или менее идя по Раскиной.
Сегодня мы говорили 1) о примерах и контрпримерах. О всех и некоторых. Разыграли сценку про Танечку и Ванечку, которые убежали в Африку и видели там разных зверей и какие выводы об этом сделали.
2) о пустых множествах. Как вы думаете, высказывание «Все люди, ростом выше 285 см, умеют летать.» является истинным или ложным?
3) начали говорить про И и ИЛИ. Составили таблицу истинности, поговорили про законы де Моргана.
Было всего много, и у них явно закипели мозги под конец. На следующем уроке про И и ИЛИ поговорим дальше. Тема сложная, но, на мой взгляд, довольно интересная.