Начали мы с разговора о том, что такое квадрат. И как можно еще назвать квадрат.
И опять всплыло, что «если квадрат повернуть, то это будет ромб» . И это пятый класс! Умные дети. Столько раз мы про это говорили, и все равно. Просто неистребимый миф какой-то.
Когда мы наконец выяснили, что такое квадрат и что такое ромб, мы стали решать головоломки с моего любимого сайта mathpickle.
http://mathpickle.com/wp-content/uploads/2015/09/squaring-and-subtracting.pdf
После этого мы стали вспоминать, что такое площадь и чем она измеряется. Слава Богу, те, кто у меня давно, уже понимают, вроде, про площадь, мы каждый год то с одного бока, то с другого заходим. А от новеньких опять послушала «длину умножить на ширину».
И мы решали головоломку филомино с не менее любимого сайта Саймона Тетхема.
https://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/js/filling.html
Обсудили, что нам нужно разделить прямоугольник на полимино, и цифры, которые мы вписываем, это именно площадь этих самых полимино. Некоторые сразу поняли, с некоторыми я посидели. У моего ассистента сейчас сложные жизненные обстоятельства, и он не всегда может, и мне, конечно, было сложновато.
Потом я поняла, что головоломок явно хватит, и мы обсудили фокусы с исчезнованием фигур из Гарднера.
http://litresp.ru/chitat/ru/%D0%93/gardner-martin/matematicheskie-chudesa-i-tajni/7
А именно — с исчезновение линий, с исчезновением лица и кроликов. Кролики, конечно, хорошо на Пасху давать, но мне не хотелось ждать.

Со старшими у меня урок полтора часа, и мы это все сделали за один урок. А с 3-4 — час, и работают они медленнее, поэтому мы растянули эту тему на два.
Начали мы с обеими группами с разговорами о бордюрах, какие они могут быть. Я взяла несимметричную фигуру в качестве шаблона. С 3-4 классом дала вырезанный картонный, а со старшими просто нарисовала линию. И мы смотрели, какие могут быть бордюры при разных преобразованиях.
Плюс я попросила их придумать что-то свое и нарисовать.

Параллельно мы поговорили о трех видах движения. Я давала раздатки и просила отметить, где осевая симметрия, где поворот, где параллельный перенос. Смешанных не давала, чтобы не усложнять. Но мы обсудили, что может быть несколько разных видов движений вместе.
После этого перешли к подобию.
Порисовали разные фигуры. Но это легко. Со старшими еще сложили два треугольника с пропорциональными сторонами из Anglegs и убедились в том, что у них равны углы. Лишний раз убедились в том, что получается сумма углов 180 градусов.
Ну, и перешли к фракталам. Я показывала разные красивые картинки. И мы кое-что построили. Со старшими это была кривая Гильберта.

Но у старших так закипели мозги и они с таким трудом строили, что 3-4 я даже не решилась ее давать. С ними просто порисовали треугольник Серпинского.

И то я не могу сказать, что все всё делали без ошибок.
Ну, и в заключение повырезали объемные фракталы. Многие были прямо в восторге.

Теперь дошла очередь и до старших групп поговорить про симметрию.
Начали мы с еще одного гарднеровского фокуса. Я раздала детям карточки, на которых слова, типа КОФЕ, СЕНО, ЗОВ были напечатаны на черном фоне белыми буквами, а слова типа ЧАЙ, МАМА — черным на белом, и сказала, что эти зеркала волшебные, и переворачивают черные слова, а белые оставляют как есть. Ну, и попросила, объяснить фокус. Дальше я попросила придумать еще слова, с которыми этот фокус будет работать.
Мы поговорили про вертикальные и горизонтальные оси симметрии. Дальше я попросила придумать, как нужно написать слова с вертикальной осью симметрии и как поставить зеркало, чтобы они в зеркале не переворачивались. Не сразу, но сообразили.
Потом поговорили о палиндромах. С 3-4 классом сделали задание Восстанови Палиндромы, типа «И_КАТ_ Т__С_». К моему удивлению, довольно многим было почему-то нелегко.
Потом я дала те же задания из книжки «Погружение в отражение», что и младшим, но не могу сказать, что прямо было всем так уж легко. Больше всех сложностей вызвало почему-то задание с клоуном. Нужно найти такую картинку, которая не получится с помощью зеркала из исходной картинки. А вы, кстати, найдете?

С 3-4 классом мы на этом и закончили, а со старшими дальше порисовали фигуры, симметричные данным относительно разных осей. А еще я опять вернулась к углам, и попросила нарисовать с помощью угольников разные углы. И при том, что я написала на доске, какие углы у угольников какой градусной меры, все равно было сложно.
Хотя я не понимаю, чего сложного начертить с помощью двух угольников угол в 120 градусов.
А дальше там были разные отрезки внутри заданных углов, и нужно было предсказать, а потом с помощью зеркальной книжки проверить, какие фигуры получатся.
Ну, и в заключение поговорили про калейдоскопы и порисовали разные множественные отражения, которые возможны в калейдоскопе. И это было нелегко, я вам хочу сказать. Даже тем, кто легко рисовал разные отражения просто относительно оси.

А со старшими я решила начать с головоломок про вампиров и зомби. Я не люблю Хеллоуин, и не понимаю, что там праздновать. Но головоломки интересные, и детям очень понравились. Кто хочет, может заменить на еще кого-нибудь. Я решила не заморачиваться.
https://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/js/undead.html
Для тех, кто не читает по английски. На поле есть косые линии — зеркала. Цифры по бокам — сколько существ видно с этой стороны. Причем привидения видны только если на них смотреть в зеркало, напрямую не видны. Вампиры видны только напрямую, в зеркале не видны. И зомби видны всегда. Я распечатала только задания самого простого уровня и пару средних. Одну среднюю задачку решил только один человек.

И с этой группой мы поговорили про паркеты. Вернее, продолжили говорить. Подробнее поговорили про полуправильные паркеты, и некоторые порисовали на треугольной бумаге, говорили подробно про сумму углов на стыках и какие варианты могут быть. Тоже искали фундаментальную область замощения и делали свой паркет.
Когда входишь во вкус, трудно оторваться от рисования паркета.

И парочка паркетов.

Начну со старших, потому что у меня в клубе сегодня был дебют моего нового ассистента, Вани.
На Покровке группы у меня относительно большие, 8-10 человек, и младшие группы я с самого начала вела вместе с девочками-ассистентами. А 3-4 класс и старших вела одна.И, с одной стороны, можно и одной — они все-таки большие. Но время от времени мне не хватало человека, который хорошо понимает довольно взрослую математику и может общаться с детьми. Это особенно важно, когда каждый работает сам. У десяти человек посмотреть, как дела, все-таки не очень легко в одиночку. Так еще, чтобы с каждым поговорить и понять, что он понял.
И в этом году нашелся совершенно прекрасный Ваня, выпускник знаменитого изобретательского класса 179 школы, студент третьего курса МАИ. У него отлично получается общаться с детьми, и с математикой у него все хорошо. А сегодня он сам предложил тему, и рассказывал детям про шестеренки и их соединения, и показывал на всяких модельках.
Откровенно говоря, мне казалось, что это такая легкая тема, я ее в олимпиадах для первого класса встречала. (Правда не в каких-нибудь, а в олимпиадах 2х2). Но оказалось, что третьему классу как минимум было, над чем подумать. Не все было так просто.
А вот над такими штуками даже старшим пришлось поломать голову.

С 3-4 классом на этом было и закончили. А со старшими начали длинный разговор про паркеты. Сегодня пока поговорили о том, из каких правильных многоугольников получается паркет, а из каких нет и почему.

Большую часть урока я с обеими старшими группами рисовала прямые углы по клеточкам. И хотя, вроде бы мы не первый раз этим занимаемся, по-моему только сегодня до них стало доходить. Причем, до старших тоже. Но мы подробно разворачивали прямоугольники, смотрели, что получится и почему. Как хорошо, что в этих группах на Покровке у меня теперь есть прекрасный ассистент, и мы с ним смогли всех обойти и посмотреть, у кого что получилось.
А потом мы сделали вот такую головоломку.
То есть мы по клеточкам строили прямой угол в центре квадрата, не на цветной бумаге. И нужно было сложить разные фигуры из получившихся четырехугольников — трапецию, ромб, прямоугольник с дыркой и квадрат с дыркой. Сложновато было. Но в основном справились.


А со старшими мы еще более подробно, чем до того с 3-4 классом, исследовали кривые дракона. Но право-лево им тоже сложно. Просто мозги закипают.

Про старших отдельно практически нечего писать — занимались сравнением углов, как и с 3-4 классом, только бодрее было. Хотя, к моему удивлению, транспортиром тоже почти никто пользоваться не умел. Теперь этому в школе не учат что ли? Мне казалось, что должны бы. Но даже шестиклашки, казалось, впервые видели эту штуку.
А еще продолжили разговаривать про альтернативные методы умножения. В этот раз был мой любимый метод Ревность.

Честно говоря, я считаю, что этот метод гораздо удобнее традиционного, потому что меньше шансов где-то потерять число при переносе из разряда в разряд. Особенно это касается умножения больших чисел. В этом примере умножается 1998 на 987.

Я очень люблю рассказывать про разные альтернативные методы умножения в столбик, но если их все сразу рассказывать, то получится целый урок, а мне хочется еще решать задачки, поэтому я решила этот рассказ разбить на несколько раз.
В этот раз мы говорили о методе «Маленький замок» (Это средневековое романтическое название, мне очень нравится)

А потом перешли к задачкам на четность. Честно говоря, нелегко все. И вроде бы всем понятно, что где-то там четность должна учитываться, но где — сложно осознать. Поэтому большинство задачек мы решали коллективно.
Вот, например, эту
За круглым столом сидят 2013 представителей четырех племен: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы – рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного и того же племени сидят рядом.

Поскольку на первом занятии половины из присутствующих не было, то мы разобрали еще одну — на этот раз простую — задачу из серии «про голубей».
Довольно бодро пошло. ПРиятно, что те, кто был прошлый раз, вспомнили, в чем там было дело.
Поскольку мой прошлый арифметический фокус не произвел должного впечатления, мне нужно было реабилитироваться. Поэтому я показала мой любимый фокус из Гарднера про извлечение корня третьей степени из четыерх-шестизначных чисел. При условии, что корень извлекается целиком.
Желающих узнать подробнее отсылаю к его «Математическим чудесам и тайнам». Кратко скажу, что фокус основан на свойствах кубов однозначных чисел.
А оставшуюся часть урока мы решали задачи о мудрецах и колпаках. Прямо по Лихтарникову.
Причем часть задач мы инсценировали.

Это мудрецы, которые пытаются определить, какого цвета наклейка у них на лбу.
Поскольку начинали мы с простых задач, то довольно плавно подошли к довольно сложным, и вроде как это не вызвало ни у кого затруднения. Я даже рассказала задачу про мудрецов и неверных жен. Она, конечно, посложней будет. Поэтому мы ее прямо так уж не решали, а просто немножко обсудили.

Для тех, кто не знает этих задачек, привожу одну из:
Участников игры мудрецов три, им предъявлены перед началом игры пять колпаков: три красных и два белых. Цель игры — определить, какого цвета на тебе колпак. Разговаривать нельзя. Можно только смотреть на других мудрецов. И поднять руку, если знаешь ответ.
Определите, кто будет победителем, если:
1) на двух участников надеты белые колпаки, а на третьем — красный;
2) на одного участника надет белый колпак, а на двух других участников — красные колпаки;
3) на всех трех участников надеты красные колпаки.

СТАРШИЕ. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ «О ГОЛУБЯХ»
В этот раз старших было полгруппы примерно, плюс они тянулись и опаздывали, поэтому мы сделали меньше, чем я планировала.
Когда собрался хоть какой-то кворум, мы в качестве разминки разобрали арифметический фокус.

Запишите год своего рождения.
Прибавьте к нему год какого-нибудь выдающегося события в вашей жизни.
К полученной сумме прибавьте возраст на конец года.
Потом прибавьте время, прошедшее с года знаменательной даты.
Хорошо в середину вставить любое число – например, количество людей в комнате.

Ответом в любом случае будет удвоенный текущий год плюс вставленное число.

Я когда-то показывала этот фокус предыдущему поколению, и, надо сказать, тогда он вызвал гораздо больше удивления. А сейчас отдельные товарищи закричали, что все очевидно. И даже смогли объяснить. Хотя было понятно, что очевидно было далеко не всем.

А потом мы перешли к моим любимым логическим задачам под условным названиям «о голубях»
Исходную задачу, я думаю, знают многие. Мы разбирали ее и еще одну, особенно трудную. Там самое сложное — честно выписать все варианты. Мы сначала упустили, и решили не сразу. Но в конце-таки добили. Заодно поучились систематизировать перебор и немножко потренировались в арифметике.

Итак, сами задачи.
1. Привет!-Привет!-Как дела?-Хорошо.Растут два сына дошкольника.-А сколько им лет?-Произведение их возврастов равно числу голубей около этой скамейки.-Этой информации мне недостаточно!-Старший похож на мать.-Вот теперь я знаю ответ на свой вопрос! Сколько лет детям?

2. Я слышу, в саду играют дети, — сказал Джон, — Неужели все они ваши?
Боже упаси, конечно, нет, — воскликнул профессор Смит, известный специалист по теории чисел. — Там, кроме моих детей, играют еще и дети троих соседей, но наша семья самая большая.
У Браунов детей меньше, чем у меня, у Гринов – еще меньше, а меньше всего детей у Блэков.
— А сколько всего детей? — спросил Джон.
— На этот вопрос я отвечу так, — сказал Смит. — Детей меньше восемнадцати, а если перемножить между собой число детей в семьях, то получится номер моего дома, который вы видели, когда пришли. Джон достал из кармана блокнот и карандаш и принялся за вычисления. Через некоторое время он поднял голову и сказал:
— Нужна еще кое-какая информация. У Блэков больше одного ребенка?
Как только Смит ответил, Джон улыбнулся и правильно назвал число детей в каждой семье. Сколько детей в каждой семье?

3. А. Сколько полных лет каждому из ваших трех детишек?
Б. Произведение их возрастов равно 36.
А. Этой информации мне мало.
Б. Сумма их возрастов равна номеру вашего дома.
А. Этой информации мне тоже недостаточно.
Б. У моего старшего ребенка – а он по крайне мере на год старше двух остальных – на левой руке родинка.
А. Спасибо, теперь мне все ясно. Вашим детям…. Лет.