В этом году у меня состоялся первый выпускной. С самого начала я планировала работать только с начальной школой, но потом как-то так получилось, что нам с четвероклассниками стало жалко расставаться, так мы прозанимались еще два года. Но всему приходит конец. Я считаю, что класса с седьмого нужно добавлять гораздо больше самостоятельной работы, и вообще несколько менять формат, поэтому своим шестиклассникам сказала, что этот год последний. Но поскольку мне хотелось как-то завершить этот этап — для части группы, то я сделала небольшое выпускное занятие.
Не все получилось так, как мне хотелось, но все-таки было здорово. По крайней мере, мне понравилось.
1. Сначала мы играли в 2/3 правды. Сначала я загадывала — по материалам того, что мы изучали. Были задания, например, такие «В этом году мы изучали 1) эйлеровы пути, 2) эйлеровы циклы, 3) эйлеровы ребра. Что лишнее? » А потом я попросила каждого из пяти выпускников придумать что-то про себя.

2. Потом мы играли в математический хоккей. Наша версия игры выглядела так. На доске нарисовано хоккейное поле. Его видно на фотографии. Шайба (магнит) — в центре поля.

Соревнуются две команды, каждая выбирает по представителю на раунд. Я даю задачу этим представителям, а также командам. И засекаю время. Тот представитель, который считает, что он решил задачу, нажимает на звонок. Если решение верное, то шайба передвигается в сторону команды противника. Если решение неверное — не зависимо от того, решил или не решил второй представитель, шайба передвигается в сторону команды первого представителя. Если прошло пять минут, и никто из представителей на звонок не нажал, то я спрашиваю команды. Соответственно правильно решившая команда сдвигает шайбу в сторону ворот противника. После гола шайба опять возвращается в центр поля.

Команды шли практически вровень, но в итоге одна все-таки выиграла. Это был мой первый математический хоккей. Мне очень понравился — в отличие от аукциона, это очень быстрая игра, задачи подбираются довольно короткие, отлично подходит для повторения какой-нибудь темы или нескольких тем.

3. Потом мы поиграли в игру «Башня». Я ее давно хотела провести, еще в прошлом году. но как-то не сложилось. А мне очень хотелось. Задание такое. Каждой команде выдается пачка макарон, скотч и несколько ножниц. Дается 10 минут, в течение которых они должны обсудить стратегию и план постройки максимально высокой башни. По истечение этого времени, начинается постройка, но разговаривать запрещено. Время на постройку опять 10 минут.
Было очень интересно смотреть, как ребята организуются — распределяют роли, выбирают стратегии.
В результате получилось вот что:

И вот что

Вторая башня была длиннее, но она, увы, отказывалась стоять вертикально самостоятельно. Так что очко первой команде.
Еще мы сделали по бесконечной открытке, и постарались написать друг другу что-то. Но это я продумала хуже, детям сама идея открытки понравилась, а писать что-то захотели немногие.
Ну, и в конце я поздравила выпускников подарила им по любимой моей книге Левшина «Фрегат капитана Единица», а дальше мы еще попили чай, поиграли в настолки, и попрощались. Я с некоторой грустью. Надеюсь, выпускники еще как-нибудь зайдут ко мне в гости. С ними было очень здорово эти три года. Надо было еще общую фотографию сделать, но я что-то не сообразила.

Сегодня мы со всеми школьниками занимались переправами и затруднительными ситуациями. Это очередная тема, которая не зависит от возраста и школьных знаний, и первоклашки вполне могут решать лучше, чем старшие.
Первоклашки. Собственно, переправ первоклашкам досталось меньше всего. Потому что мы по их просьбам долго играли в Коварного лиса. Потом я решила вернуться к двоичному поиску, и мы поиграли в такую игру. Я нарисовала на доске прямоугольник 4 на 4. Дальше я говорила, что где-то там спрятан пирог, который украл тот самый лис. Чтобы угадать, где спрятан пирог, можно нарисовать любой прямоугольник и спросить, там ли спрятан пирог или нет.
Поскольку пирог прятала я, то я не выбирала заранее клеточку, а в процессе выбирала худший вариант.
Попутно мы обсудили, что же такое прямоугольник и является ли квадрат прямоугольником. Услышала интересное определение прямоугольника, что это два соединенных квадрата.
На этой задаче стало ясно, что не все уяснили себе про двоичный поиск, правда, не все были на прошлом занятии. Однако те, кто был, довольно быстро все вспомнили, и быстро стали выбирать хорошую стратегию.
Потом мы с ними решали задачу про лягушек. http://gamgama.ru/game/12573
Надо сказать, она довольно сложная. Я попыталась сначала выбрать шесть лягушек из ребят, и решать наглядно, но было сложно, они очень отвлекались. В результате я каждому раздала кружочки от конструктора Геометрика — это были камни, и по три синих и прозрачных камешка. Это были лягушки, которых надо было поменять местами. Было трудно, но были товарищи, которые сделали сами. Потом мы уже решали коллективно. И в конце быстренько разобрали волка, козу и капусту.
С остальными школьниками мы начинали с того, что быстро делали простую лодочку оригами, чтобы было, на чем перевозить пассажиров.

Задачки мы решали такие:
1. Сначала разбирали волка, козу и капусту. Многие знали, но тем, кто не знал, не так-то легко было самим дойти до идеи того, что кого-то придется возвращать.
2. Еще одна простая задача. Есть три человека, весом 45, 50 и 80 кг. Нужно их перевести на лодке, которая выдерживает только 100 кг.
3. http://gamgama.ru/game/12570 В моем варианте это были кошки и мышки, как в книжке у Наташи Рожковской. Эта задачка оказалась относительно легкой, и ее сделали довольно быстро все.
4. Еще была задача http://gamgama.ru/game/12569
Но в моем варианте это был заклинатель змей с коброй, медведица с двумя медвежатами и львица с двумя львятами. Соответственно кобру нельзя было оставлять ни с кем из зверей без заклинателя, медвежат нельзя было оставлять со львицей без медведицы, и соответственно львят с медведицей без львицы. Это была сложная задача, и мало, кто ее осилил сам. Пришлось задавать наводящие вопросы.
5. Со старшими еще успели решить задачу про фонарик. http://gamgama.ru/game/12572

Ну, и упомянутых уже лягушек решали.
Вообще в этих задачах несколько трудностей — 1) отслеживать все условия,( у нас же нет компьютера, как в игрушке) , 2) понять, что же ты сделал, если все-таки получилось. Поэтому я всех, кто вроде решил, просила повторить и осознать, что же ты сделал — и это было самое сложное .

Я помню, что еще не написала про прошлые занятия,я обязательно все допишу, как только появится время.
Но день Святого Патрика сегодня, поэтому постараюсь записать хоть сегодняшние занятия, пока он не кончился.
Итак, пока мы ждали всех опоздавших, мы играли в 2/3 правды про Ирландию. Я называла три факта, и нужно было угадать, что из этого неправда (1 факт). Например, вот шесть фактов, из которых 2 неправда.
— Два раза на год в Ирландии цветут сакура и яблоня.
— Святой Патрик — самый знаменитый ирландец.
— Знаменитый «Титаник» был создан в Ирландии.
— В Ирландии была открыта первая в мире пригородная железная дорога.
— На гербе Ирландии изображена волынка.
— Для записи ирландских (гэльских) слов используется только 18 букв.

Потом мы вспомнили про великого ирландского математика и физика Уильяма Гамильтона. Поговорили про то, что такое гамильтоновы графы. Заодно вспомнили про эйлеровы графы, потому что народ изрядно подзабыл, что же это такое. Хотя мы вроде бы несколько раз решали про это задачки. Надо, значит, почаще возвращаться к старому. Кстати, во время поиска материалов по гамильтоновым графам, я нашла совершенно прекрасные материалы для математического кружка 5-6 класса. Вот, смотрите и радуйтесь со мной.
http://www.zaesenok.ru/matematicheskij-kruzhok/5-6-klassy

А в конце занятия мы еще позанимались кросснамберами. Это отличная, на мой взгляд, штука вычитана мной в одной венгерской переводной книжке. По мотивам ее я сделала свой — потому что там в основном сложные.
Например, такой.

Сегодня мы занимались простыми комбинаторными задачами. Практически полностью по книжке Анны Бураго, про которую я уже писала.
И, как и у нее, у нас получилось довольно большое расслоение — пара старших такие задачи щелкали, как орехи, и для них все эти обычные схемы с городами и деревьями были простыми и очевидными. А остальным нужно было это все еще переваривать и переваривать. Как нарисовать схему к задаче, какая схема к задаче подойдет и какая будет удобнее, как по схеме посчитать варианты — это все не так легко оказалось большинству.
Хорошо, что у меня был с собой запас задачек, и особо бодреньким я подсунула еще решать.
И мне очень нравятся задачки из книжки Анны Бураго, несложные, но интересно написанные, и поговорить есть о чем.

Например, вот такие.
1. Медвежонок полез на дерево за медом и упал на землю. Его друг Ежик – начинающий кинорежиссер – снял падение на пленку. Теперь Ежик собирается озвучить свой фильм. В каждый момент, когда Медведжонок задевает ветку дерева, Ежик планирует добавить звук “Ой-ой-ой”, “Ай-ай-ай” или “Бамс”. Сколько разных звуковых дорожек может сделать Ежик, если во время падения Медвежонок задел две ветки? Три ветки? Четыре ветки? Пять веток?
2. Иван-Царевич хочет освободить Василису Прекрасную, которая томится в замке. На воротах замка есть кодовый замок с 10 цифрами. Чтобы открыть ворота, надо набрать секретный код – четыре цифры в определенном порядке. Ворота охраняет голодный дракон Пашка, который любит сосиски. Когда Пашка ест сосиску, он не замечает ничего вокруг себя. Иван-Царевич пробует одно сочетание цифр за секунду, а Пашка съедает одну сосиску за 20 секунд. Когда Иван откроет ворота, ему понадобится еще одна минута, чтобы подняться в башню к Василисе и улететь с ней на ковре-самолете.
а) Сколько сосисок надо взять с собой Ивану, чтобы улететь целым и невредимым вместе с Василисой? Запас сосисок должен быть рассчитан на худший случай.
б) Сколько сосисок понадобится Ивану, если он заранее знает, что код состоит только из нечетных цифр?
в) Сколько сосисок понадобится Ивану, если он заранее знает, что код состоит только из нечетных цифр и в нем есть ровно одна цифра 5?

А в последние пятнадцать минут для разрядки я подсунула им задания на рисование со средней линией, какие мы делали в прошлый раз с 1-2 классом. И хочу сказать, не всем старшим такие задания легко выполнить, не все на глаз видят, какая линия средняя, довольно много было ошибок по невнимательности. Так что лишний раз внимание и глазомер прокачать оказалось полезным на мой взгляд.

В прошлом году в МЦНМО вышла прекрасная книжка Анны Бураго «Дневник математического кружка». Кружок рассчитан на 5-7 класс, как раз на мою старшую группу, но там кое-что можно взять и для более младших.
Там много чего полезного и интересного. В частности, про математические соревнования. Внутрикружковые олимпиады у меня идут как-то обычно не очень. Всегда приходится придумывать какую-то движуху вокруг.
И идея командного соревнования мне очень понравилась. Называется «Математический аукцион».
Правила такие.
Дети делятся на две команды, выбирают себе название и капитана, получают стартовый капитал. В нашем случае 100 тугриков. Получают первую задачу — она читается вслух, решают ее за установленное время. А потом начинаются торги за право эту задачу представить. Торги идут с шагом 5. Купившая право команда платит соответствующее количество тугриков — они просто снимаются с ее счета, и рассказывает задачу. Если у второй команды нет лучшего решения, то первая команда получает на свой счет стоимость задачи. В нашем случае 50 тугриков. Если вторая команда требует выставить задачу на торги, то торг начинается сначала.
Сегодня ребят было не очень много. И самых сильных как раз не было, но я все равно решила провести.
В этой игре нужно не только решать задачи, но еще и продумывать стратегии торгов, у одной из команд сегодня стратегия была неудачная, они потратили на первую задачу больше денег, чем можно было потенциально выручить, но все равно ее упустили, и в итоге сразу сильно отстали.
За час у нас получилось только 3 задачи.
1. Используя цифру 2 пять раз, получите как можно больше идущих подряд натуральных чисел, начиная с 1. Решение считается лучше предыдущего, если команда может продолжить список с того числа, на котором остановилась выступавшая перед этим команда.
2. Разрежьте круг семью прямыми линиями так, чтобы получилось как можно больше треугольников. «Треугольники» с кривыми сторонами не считаются, треугольники, состоящие из меньших треугольников и многоугольников тоже не считаются.
3. У купца Али есть золотая цепь из 20 звеньев. Али отправляется в дальнее путешествие и нанимает проводника для 20-дневного перехода через пустыню. Проводник требует в качестве оплаты по одному звену цепи за каждый день и выставляет условие: Али должен рассчитываться с ним в конце каждого дня. Для расчета с проводником купцу придется распилить часть золотых звеньев. Это требует дополнительных расходов, поэтому Али хочет распилить как можно меньше звеньев. К счастью проводник соглашается давать сдачу: например, Али может в первый день расплатиться одним звеном, а во второй отдать проводнику кусок цепи из двух звеньев и получить обратно вчерашнее звено. Какое наименьшее число звеньев должен распилить Али, чтобы выполнить условие проводника?

Первые задачи пошли довольно бодро. Третья уже с трудом.
Но детям понравилось, мне тоже. Я думаю, обязательно еще повторим где-нибудь в конце года.

Помимо геодосок мы еще разбирали классическое понятие вероятности.
В школе вероятность появилась относительно недавно, и как-то она вводится на пальцах. По крайней мере мне так показалось по учебникам Анюты.
А я решила, что мы разберем математически четкое определение.
Ничего такого, недоступного ученику пятого класса там нет.

Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению m к n, где:
n – общее число всех равновозможных, элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий;
m – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

Нужно просто понять, зачем здесь каждое слово, и почему оно важно. Поэтому мы разбирали разные примеры на то, что такое элементарные исходы, а что нет. Что такое полная группа событий, и рассматривали разные варианты.

А потом я дала самостоятельно решить несколько несложных задач на теорию вероятности. И все прекрасно решили. Единственный момент — я никак не могу понять, почему большинство школьных задач такие унылые. Я пролистала несколько десятков задач. Просто тоска зеленая. Ну, я понимаю про кубики — они очень удобные, что-то аналогичное сложно придумать. Но остальное-то тоже такое унылое — про какие-то бракованные сумки и холодильники, про спортсменов, про бесконечные шарики и так далее. Почему нельзя добавить хоть чуть-чуть креатива, и детям стало бы намного интереснее решать. В любом классе, не только в началке.
Поэтому пришлось мне сочинить несколько задач. У нас были задачки про Тома Сойера, и про Винни-Пуха, и про Хогвартс. Все веселее.

А еще мы поговорили о том, как важно понимать в каждой задаче, что именно является элементарным исходом и сколько их.
В качестве примера мы разобрали вот такую задачку. Вы идете в гости в семью, где четверо детей. Как вы думаете, скорее всего там 1) все дети однополые 2) поровну 3) отношение один к трем. Мы считаем, что вероятность рождения мальчика или девочки одинаковая.

Поскольку в прошлый раз с доказательствами вообще, и доказательством от противного возникли сложности (кстати, вторая старшая группа как-то легче все восприняла, не знаю почему), я решила вернуться к книге Раскиной, о которой я уже писала. И проштудировать с детьми главу «Доказательство от противного». Пошло очень и очень тяжело. Но формальная логика вообще у нас туговато шла. У детей прямо закипали мозги.
А тут нужно четко осознавать, где у нас причина, где следствие, где прямое высказывание, где обратное, где противоположное, где противоположное обратному. В целом мы решали, но коллективно — с моими песнями и плясками. И явно у них не уложилось. То, что прямое высказывание не равносильно обратному вроде бы все поняли уже давно, и не ошибаются. Но то, что прямое высказывание равносильно противоположному обратного по-моему так и не уложилось. Я думаю, что мы потихоньку будем небольшие упражнения на это делать.
Среди задачек мы решали довольно сложные. Например, такую.
«В клетках шахматной доски как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 64. Докажите, что найдутся две соседние по стороне или по вершине клетки, числа в которых отличаются не меньше чем на 9.»
Здесь же поговорили о бесконечности простых чисел. Нашелся даже котик, который знал, как это доказывается.
Но ушло некоторое время на осознание того, что здесь причина, что следствие. И причем здесь доказательство от противного.
У меня был еще материал, но мне нужно было срочно разгрузить детей, и мы тоже порисовали змеек. И дети сами сообразили, почему нечетные змейки возвращаются.

Со старшими мы еще занялись принципом Дирихле. Это знаменитое утверждение о том, что если в N клетках сидят N+1 кроликов, то в какой-то клетке сидит не меньше двух кроликов.
Проблема оказалась в том, что дети совершенно не видят, что тут можно доказывать. Очевидно же — и все их доказательства сводились к формулировке задачи другими словами. И вообще похоже, что идея доказательств для них пока не очень понятна. А уж идея доказательства от противного тем более. Так что придется нам вернутся к логике и доказательствам вообще, и доказательству от противного — в частности.
Хотя задачки на принцип Дирихле мы все равно поразбирали, хоть и было нелегко — не в смысле понять задачки, а в смысле выстроить доказательство.

Со старшими я начала введение в теорию вероятности. Мне кажется, это хорошая тема, в которой много чего интересного, и в пятом классе она уже вполне посильна.
Начали с базовых понятий — достоверных, случайных и невозможных событий. Искали разные примеры, определяли, какие события какие.
И рассмотрели, какие случаи будем рассматривать — что события действительно случайные, никто сознательно не жульничает и не подыгрывает определенным исходам.
А дальше поговорили про равновероятное события. И ставили эксперимент с небольшим количеством испытаний — смотрели, что количество разных исходов бросков кубика, скажем, если бросков 20-30, могут отличаться в три-четыре раза.
А если испытаний уже около 200, то такого разброса уже нет.
Дальше мы поговорили про ситуацию, когда два близнеца хотят купить в автомате одинаковые жвачки. А в автомате два сорта жвачек. Сколько жетонов им нужно бросить, чтобы событие «одинаковые жвачки» стало достоверным.
Ну, и дальше решали задачи про «В худшем случае».

С третьим-четвертым классом про тервер мы пока не говорили, зато поговорили про шоколадки.

И в обоих случаях были шоколадки для близнецов, но из Хмелинского, где можно делить по диагонали клеточки. И местами они, ох, какие трудные. У меня было две странички. Одну страничку целиком решил только самый геройский герой. Остальные максимум пару заданий.

Настолка у нас была самодельная — разрезанные на половинки снежинки, с которыми мы играли как в мемори.

У дошкольников дальше была беготня, навеянная совершенно неновогодней погодой. Дети были снеговиками, подушечки (в некоторых группах стульчики) — это холодильники, куда наши веселые снеговики должны были прятаться при разных условиях.

С шестилетками еще мы пытались поговорить про месяцы. Пошло очень туго. Месяцев не знал почти никто, разве что отдельные личности, и то с трудом. Но как-то совместными усилиями вспомнили. Почти никто не знал дату рождения.

Дальше мы занялись измерялками с помощью моих любимых соединяющихся кубиков. Сначала мерили все вокруг. А потом уже у каждого было задание — померить елочки на раздатке.

И в конце делали открытку с сайта Крокотак. Открытка очень простая. Нужно было отмерить с одной стороны 7 кубиков, с другой стороны два, соединить волнистой линией и вырезать. Дальше сложить и наклеить треугольников-елочек и квадратиков-подарков. Тут обнаружилось внезапно, что есть дети, даже шестилетки, которые не умеют резать ножницами. 😦

С 1-4 классом мы тоже говорили про календарь, но уже более продуктивно и делали календарь-додекаэдр, те, кто быстро справился, получал по этому календарю задание. Опять же выяснилось, что 1-2, а то и некоторые третьеклашки не очень-то в календаре ориентируются, не могут определить, когда какой день недели, некоторые не знали, сколько дней в месяце, там что мы поучились считать по косточкам.

Зато со старшими, которых я вообще не балую поделками, мы делали довольно несложный объемный календарь с крокотака — из шести объемных открыток, по два месяца на каждой. Но перед каждой открыткой решали задачки про календарь, которые я насобирала с разных мест.
Например, такая:
На столе стоит «вечный календарь» — из двух кубиков с цифрами, и набором наклеек из месяцев.
Видны цифры на одном кубике — 2, 1, на другом — 5, 3, 4. Вопрос — какие цифры на скрытых гранях кубиков, чтобы с помощью переворотов и перестановок кубиков можно было бы получить любое число месяца?
Или такая:
В каком месяце может быть воскресений больше, чем любых других дней недели?
Или довольно известная (но дети ее почему-то не знали) Петя утверждает, что позавчера ему было 10 лет, а в будущем году 13-ть. Как такое может быть?
Еще была данетка (Спасибо Оле Оводовой) и фокус из Гарднера.